引言

近年来为提高分辨率，增强望远镜的观测能力，地基天文望远镜的口径不断增大，与此相对应的适配望远镜的终端仪器及其组件的尺寸与体积也不断增大。因此，自重对光机仪器精度的影响也随之增加。本文的研究对象为大型矩形准直镜系统，是极大望远镜终端光谱仪的重要组成部分，主要起到准直光路的作用，其面形精度对望远镜的观测性能具有重要影响。因此，需对准直镜系统的整体结构进行合理的设计，在保证其面形精度的前提下得到系统最优结构。

对于准直镜这类矩形反射镜，一般的支撑方法是采用周边支撑和背部支撑方式。周边支撑将反射镜侧边通过胶接等方式与镜室固连，这种结构的定位精度和系统热物理性能较差，面形精度低^[1-2]。采用背部支撑结构的系统刚度较低，且这种结构仅在镜体重力方向与反射面垂直时适用。因此，本文设计了一种新型的支撑结构，并结合先进全局多目标多参数优化方法，在保证准直镜重量要求的前提下，使准直镜工作性能最优。

本文以大尺寸矩形准直镜为研究目标，在基于镜体侧面支撑的基础上，通过设置参数和多目标全局优化算法，设计出一种满足设计指标要求的新型准直镜柔性支撑结构，并对其重力适应性与热稳定性进行研究，为我国开展12 m大型红外望远镜宽视场光谱仪准直镜系统和美国30 m大型望远镜WFOS仪器准直镜系统开展前期研究，并为其提供技术支持。

1   柔性支撑系统结构优化设计

准直镜柔性支撑系统的主要目的是保证准直镜系统具有较高的结构可靠性和工作稳定性。一方面，镜体结构尺寸相对较大，为保证其在运行中能够抵抗振动、疲劳破坏等影响，要求镜体支撑系统具有足够的刚度和强度；同时，为了降低成本和实现难度，准直镜柔性支撑系统重量应尽可能的降低。另一方面，镜体各组件材料的热膨胀系数不一致，为避免温度变化使系统产生的热变形对镜面变形产生过大影响，需要支撑系统具备一定的柔性，能够产生弹性变形吸收变形能，保证光学元件面形精度。

通常大型反射镜的固定方式是将镜体水平放置，工作时通过其支撑结构做俯仰运动以调节自身姿态适应工作要求。该准直镜系统与一般反射镜系统有所区别，其在运行时绕一定点做缓慢圆周运动，系统重力方向与光路垂直。为适应其工作状态，本文设计了一套在准直镜侧面进行定位并通过6个支杆来承担主要负荷的柔性支撑系统。

1.1   主体支撑结构设计

对面形精度影响最大的是反射镜自身支撑方式的选择，支撑方式直接影响到反射镜组件整体的动态刚度和结构稳定性^[3]。因此，设计准直镜的支撑系统时，最重要的是在保证支撑结构稳定工作的同时提高准直镜面形精度。准直镜为长1.6 m，宽0.8 m的大型矩形镜体，工作面为球形反射面。为减轻镜体重量，镜体背部布满三角形轻量化孔。准直镜系统工作空间充足，镜体侧面易于布置支撑点。因此，在镜体侧面进行定位并选用杆件进行支撑是一种适合实际情况的方案。但选用支杆对镜体进行支撑会带来定位点较少，支撑应力相对较大的情况。因此，本文设计了一种带柔性结构的支撑系统以降低应力对镜面变形的影响，如图1所示。

图  1  准直镜系统结构

Figure  1.  Structure diagram of collimator mirror system

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根据镜体外形，在准直镜4个侧面布置5个支撑点，主体支撑结构为6支空心长杆，每支杆两端通过柔性结构分别与底座和接触座相连。6个支撑点限制了准直镜的6个自由度，2个相邻的支撑杆系嵌入同一个底座中形成一个较为稳定的三角形支撑结构，整个支撑系统通过3个底座进行固定。系统沿准直镜长边方向呈对称布置，在运行时能够较好地平衡系统重力，结构稳定性较好。

1.2   柔性结构设计

系统支撑所产生的作用力垂直于准直镜光轴，其合力通过系统重心。系统支撑点少，镜体自重大，温度发生变化时系统产生热变形大，装配后较易出现局部应力过大的情况。所谓柔性结构就是通过其自身产生的变形卸载应力和吸收变形能，减小系统热变形和装配应力，保证准直镜面形精度的一种铰链，通过自身特殊的结构在系统运行时能够产生微小角度的弹性变形，同时也可以减小振动对系统造成的影响^[4-5]。

常见的柔性铰链有交叉簧片式柔性铰链、Cartwheel式柔性铰链等。交叉簧片式柔性铰链的结构形式为两根等长的簧片中心处以一定的角度相交叉，簧片的两端固连刚体^[6]。这类铰链应力特性较好但在运动过程中存在一定的轴漂，系统误差相对较大。Cartwheel式柔性铰链属于单轴复合型铰链，一般由处于同一平面的4根直梁型柔铰复合而成，具有转角行程大、转动精度高、最大应力低、抗屈曲能力强、易于加工装调等优点^[7]。因此，选用Cartwheel式柔性铰链更符合设计要求。准直镜支撑系统主体为空心圆柱杆，为适应系统结构形态，柔性铰链也应为空心圆柱形。综上所述，本文设计了一种Cartwheel式柔性铰链作为准直镜支撑系统的柔性结构，具体形式如图2所示。

图  2  柔性铰链结构

Figure  2.  Structure diagram of flexible hinge

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柔性铰链为空心圆柱结构，2个正交方向具有相同的柔度，通过突出的圆柱端与准直镜支撑杆相连，工作时产生轴向和扭转变形以降低系统应力。图2中铰链空隙尺寸x与两隙间距y为随铰链外径D变动的从动尺寸，其变动关系为y=2x=0.1D。其中D为准直镜柔性支撑系统多目标优化计算时的输入参数之一。

1.3   材料的选择

准直镜的材料为Zerodur，其密度低，热稳定性较好，机械强度较高，近年来在大型天文仪器的制备中应用比较广泛，工艺成熟，因此选其为镜体材料。支杆是支撑系统的主体，承担着支撑系统的安全，同时要考虑系统重量，所以在选材时应选择机械性能好，密度较小的材料。因此，可选钛合金材料，这种材料密度相对较低，导热系数较小，强度较高，适用于主体支撑结构。同理，底座和垫片也选用钛合金材料。柔性铰链的材料选用60Si2Mn，这种材料常用于制备弹簧钢，适合在较大的载荷及高应力条件下工作，常用于减震装置。准直镜柔性支撑系统的6根主支撑杆两端都与柔性铰链相连接，系统工作时柔性铰链处会产生变形和较大的应力，因此选用60Si2Mn比较合适。连接座与镜体直接接触，将其与柔性支撑系统连接起来。由于镜体材料热膨胀系数和导热系数较小，因此连接座的材料选用原则上也应与镜体保持一致。否则，两种材料导热系数和热膨胀系数相差过大，在温度发生变化时会产生热错配，影响面形精度。因此选择热膨胀系数小的殷钢作为连接座材料。

准直镜柔性支撑系统的各部分材料如表1所示。

表  1  准直镜柔性支撑系统材料设置

Table  1.  Material settings of collimator flexible support system

元件名称	材料名称	材料性能
准直镜	Zerodur	密度小，热稳定性好，机械强度高
支杆	钛合金	密度小，导热系数小，强度高
柔性铰链	60Si2Mn	适合大载荷，高应力工况
连接座	殷钢	热膨胀系数小
底座	钛合金	密度小，导热系数小，强度高
垫片	钛合金	密度小，导热系数小，强度高

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1.4   多目标优化

1.4.1   多目标优化原理

多目标优化问题就是在可行域中确定由决策变量组成的矢量，使得一组相互冲突的目标函数值尽量同时达到极小^[8]。其数学模型可以描述为如下形式：

式中：$X = {\left( {{{x} _1},{{x} _2} \cdots {{x} _{\rm{n}}}} \right)^{\rm{T}}}$为决策变量向量；$Z = F(X)$是$k$维函数向量；$\varPhi \left( X \right)$是m维函数向量；G是m维常数向量。

数学模型可以表示为有n个决策变量，k个目标函数，m个约束方程。在实际的多目标优化求解问题中，决策变量和目标函数是必须存在的，而约束方程可以按照实际情况决定是否进行设置。

多目标优化研究多个目标函数在给定区域的最优化问题，其解为一组由众多Pareto最优解组成的解集。

求解多目标优化问题最优解集，主要有3种方法：一是算法根据决策者事先提供的各目标相对重要程度的排序，将多目标问题转化为单目标问题，通过采用单目标优化的方法对多目标问题进行求解；二是交互法，即通过分析者与决策者的对话方式，逐步求出最终解；三是求非劣解的生成法，即先求出一个含有大量非劣解的子集，再根据决策者意图寻找最终解。生成法包括多种多目标优化问题求解手段，主要有约束法、混合法以及多目标遗传算法等。本文对准直镜柔性支撑系统结构尺寸的优化设计就是基于遗传算法的多目标优化问题求解。

遗传算法是一种基于进化论的自然选择和群体遗传机理的计算模型，是模拟自然进化过程中繁殖、杂交、突变现象搜索全局最优解的智能优化算法。利用遗传算法对问题进行求解时，所有可能解构成一个群体，算法开始运行，群体随机产生个体，形成初代种群。根据求解问题所预定的目标函数对种群每一个个体进行评估，得出适应度。初代种群按照自然选择理论向最优解方向逐代进化产生近似解，并在每一代中根据问题域中的个体适应度评估选择个体。经过筛选的个体基于群体遗传机理进行组合交叉和变异，产生新的种群。这个过程使得新生代种群在性能上总体优于前代种群，更加适应环境。因此，经过解码得到的末代种群中的最优个体可以视作问题近似最优解。图3为遗传算法的操作流程。

图  3  遗传算法操作流程图

Figure  3.  Flow chart of genetic algorithm

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相较于线性规划法等传统的优化算法，遗传算法搜索能力强，收敛速度快，一次能够得到更多的Pareto最优解。本文中准直镜柔性支撑系统的形态优化有多个变化参数，部分参数之间由表达式相互关联。因此，选择遗传算法对此问题进行优化，能够快速收敛得到全局最优解并提高运算结果精确度。

1.4.2   多目标优化

本文选择遗传算法对准直镜柔性支撑系统进行多目标优化设计，定义了支撑系统形状要素和支撑点位置要素共8个设计变量，如图4所示。

图  4  准直镜柔性支撑系统设计变量图

p1.支杆长度参数1；p2.支杆长度参数2；p3.支杆外直径；p4.支杆壁厚；p5.底座中心距镜边距离；p6.短边底座中心距长边距离；p7.长边底座中心距1；p8.长边底座中心距2

Figure  4.  Design variable diagram of collimator flexible support system

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在准直镜柔性支撑系统仅受自身重力影响的情况下，系统的设计要求为总质量不超过250 kg，镜面的PV值不超过200 nm。基于以上条件，设置优化目标为Mass≤250 kg，PV≤200 nm。限制支撑系统底座自由度，对系统模型进行多目标优化计算。最终得到准直镜柔性支撑系统总质量为229.21 kg，在自重影响下镜面最大PV值为168.23 nm。图5为准直镜柔性支撑系统优化计算的Pareto解集。

图  5  准直镜柔性支撑系统多目标优化Pareto解集

Figure  5.  Pareto solution set for multi-objective optimization of collimator flexible support system

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准直镜柔性支撑系统最优结构参数如表2所示。

表  2  准直镜柔性支撑系统最优结构参数

Table  2.  Optimal structural parameters of collimator flexible support system

参数	参数范围/mm	初始值/mm	优化值/mm
p1	2 100～2 250	2 100	2 223.80
p2	2 550～2 650	2 600	2 579.40
p3	21−25	24.5	24.32
p4	6−9	6	8.25
p5	170～180	170	178.05
p6	290～300	290	292.65
p7	1 000～1 040	1 000	1 013.92
p8	700～760	736	714.98

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图6显示了准直镜柔性支撑系统各设计变量对镜面PV值和系统重量的影响。可以看出，影响面形精度的主要是与位置有关的参数，与形状尺寸有关的参数对系统重量影响较大。

图  6  准直镜柔性支撑系统多目标优化灵敏度分析

Figure  6.  Multi-objective optimization sensitivity analysis of collimator flexible support system

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本节针对大尺寸矩形准直镜设计了一种新型柔性支撑系统，并基于遗传算法对其结构尺寸进行多目标优化，在镜面PV值与系统总重符合设计目标的情况下得到一组最优解。准直镜柔性支撑系统便于加工制造和安装，能够以简单的结构设计保证系统的设计要求。此种结构对于光路与工作面垂直的镜体支撑方式提供了一个新的设计思路，并且在降低研发成本与缩短研制周期上也有很大帮助。但相对于大型反射镜常用的多点支撑法，采用侧面支撑方式对反射镜面形精度影响较大，主要是此种方式支撑点数目相对较少且距离工作面较近的缘故。因此，未来研究此类问题的重点应是补偿支撑方式对镜面面形的不良影响。

2   准直镜系统热稳定分析

环境温度的变化会对准直镜系统性能产生一定影响。包括温度热环境所产生的热应力引起的光学元件面型的变化，工作环境温度变化对于镜片材料光学特性的影响^[9]。因此，对准直镜系统进行热稳定性分析，探究能够保证准直镜面形精度要求的温度变化范围是十分重要的。

2.1   热稳定分析基本原理

环境温度发生变化会使热载荷作用于准直镜系统进而产生热应力，导致准直镜镜面变形。整个过程相对较为缓慢，所以在准直镜系统的热稳定分析中，可以将其温度场视为不随时间变化的稳态温度场。

处于稳态温度场的准直镜系统的热分析可抽象为一个稳态传热过程，即系统中任一节点的温度都不随时间的变化而变化。

根据导热基本定律和能量守恒定律，可以建立准直镜系统的温度场数学表达式^[10]：

式中：${\rm{\rho }}$为有限单元的密度；c为有限单元的比热容${\dot{\mathit{ \Phi }}}$为单位时间内单位体积中内热源的生成热；$\tau $为时间。

由于准直镜系统无内热源，物性参数为常数且其属于稳态导热过程，所以上式可简化为

即准直镜系统的导热微分方程。给定准直镜系统热分析的边界温度作为相应的定解条件，即构成完整的准直镜系统导热问题的数学描写。

2.2   热稳定分析结果

在有限元分析软件中限制准直镜柔性支撑系统底座的6个自由度，基于系统因重力产生最大镜面变形的姿态，根据上述稳态热分析基本原理对系统整体施加边界温度，进行两类工况的计算。通过计算结果找出在变温环境下满足准直镜面形PV值小于400 nm时系统工作温度的变化范围。

工况1：对准直镜系统整体施加低于基准温度0.2 ℃、0.4 ℃、0.6 ℃…的边界温度值。

工况2：对准直镜系统整体施加高于基准温度0.2 ℃、0.4 ℃、0.6 ℃…的边界温度值。

准直镜系统工作基准温度为22 ℃，图7给出了准直镜在上述两类工况下运行时镜面变形的PV值和RMS值曲线。

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图  7  准直镜面形随温度变化曲线图

Figure  7.  Curves of collimator surface shape with temperature

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通过以上结果可以看出，满足在变温工况下准直镜面形PV值不超过400 nm的设计指标时，系统工作温度变化范围为20 ℃～23.7 ℃。对临界温度下准直镜柔性支撑系统进行有限元热分析，并提取镜面变形值对其进行面形拟合，得到的图像如图8所示。

图  8  临界工况下准直镜面形图

Figure  8.  Collimator surface shape under critical condition

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2.3   讨论

通常情况下温度变化会影响反射镜系统的面形精度，且影响程度因镜体的体积以及支撑方式的变化有所不同。这是因为反射镜的支撑组件与光学元件的热膨胀系数存在一定差异，温度变化时系统各组件的收缩与膨胀不能完全同步，导致系统内部产生热变形和热应力，进而影响到光学元件的面形精度。因此，在支撑系统内设置柔性环节，通过其变形来削弱此种影响，进而提高面形精度是一种行之有效的方法。此外，在准直镜系统工作时还应注意控制环境温度的变化。

3   准直镜系统随机振动分析

准直镜系统在运行过程中会受到地面随机振动的影响，柔性铰链处结构尺寸相对较小，受到振动影响时会产生应力集中，因此柔性铰链为整个支撑系统最薄弱的环节。为确保支撑结构具有足够的刚度和强度，需要对系统进行随机振动分析并验证系统的安全性。

3.1   随机振动分析基本原理

在随机振动分析中，任一瞬时各种频率成分的激励同时作用于准直镜系统，因此无法预测其瞬时的振动变化规律，一般用整个加载周期的均值、均方根、累计均方根和功率谱密度等统计量研究其在随机振动中的响应^[11]。

在准直镜系统随机振动分析中将振动数据转化为功率谱密度。功率谱密度函数是随机变量自相关函数的频域描述，其为频率-功率谱密度值的关系曲线，可以反映随机载荷的频率成分。

模态即结构的固有频率和振型是进行振动频谱分析的一个重要过程，得到模态频率值和特征向量后，根据给定的基础振动功率谱密度计算每一个振动模型中每一个自由度方向的模态响应幅值。将模态幅值作用于模态特征向量，可以得到每一个自由度方向的响应量。将各个模态下的响应叠加就可以得到延迟线系统在激励下的响应，因此模态分析是随机振动的基础。

3.2   随机振动分析结果

建立模态分析项目，对准直镜支撑底座进行6个自由度的约束，然后进行模态分析，得到准直镜固有振动频率，如表3所示。

表  3  准直镜柔性支撑系统前6阶频率

Table  3.  First to sixth orders of collimator flexible support system

阶数	1	2	3	4	5	6
频率/Hz	15.66	24.77	33.15	168.43	185.06	234.97

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将实测得到的地面随机振动数据转化为如图9所示的功率谱曲线，将其数值输入到有限元分析项目中，对系统在振动影响下的结构强度进行分析，得到最大应力出现在柔性铰链处，为2.90 MPa，远低于许用值，不会对系统结构强度产生影响。

图  9  地面随机振动功率谱曲线

Figure  9.  Power spectrum curves of random ground vibration

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3.3   讨论

通过以上分析结果可以看出，准直镜柔性支撑系统的固有频率与一般的大型反射镜系统相比较高，这样可以有效避免系统结构在其工作频带内产生共振，保证了结构的安全运行。在地面随机振动的影响下，系统柔性铰链处因自身结构尺寸影响产生应力集中，但其最大应力与其结构材料的许用应力相比很小，因此不会对准直镜柔性支撑系统结构强度产生影响。

4   结论

文中设计了一种准直镜柔性支撑结构，适用于大型矩形反射镜，6个定位点分布于准直镜4个侧面，并由6支带有柔性结构的空心圆柱支撑杆形成主体支撑结构。该种支撑结构适合准直镜的工作环境，且其中的柔性结构能够降低重力变化、温度变化和振动对光学元件变形产生的影响。对准直镜柔性支撑系统进行多目标优化，得出一组满足系统设计要求的支撑结构设计变量最优解。基于优化后得到的准直镜系统有限元模型，通过分析求解出能够保证准直镜系统正常运行的温度变化范围，且在地面随机振动的影响下支撑结构能够保持稳定。