Method of detecting microlens wavefront by Hartmann sensor
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摘要:
随着微透镜的广泛应用，微透镜光学性能的快速检测是使用者和加工人员亟待解决的关键问题。提出利用哈特曼波前传感器来检测微透镜波前，从而快速表征其光学性能。为了验证该方法的可行性，设计了利用哈特曼传感器测量微透镜波前的总体方案，搭建了测量实验系统，并对测量的误差源进行了分析。结合实验方案，研究质心提取算法、Zernike多项式波前重构算法，保证光斑质心提取精度及波前重构精度，并分析了待测透镜孔径衍射对波前检测精度的影响。结合200 μm的凸透镜进行波前检测实验，得到了其波前误差和初级像差信息，为微透镜光学性能的快速检测提供了一种全新的思路。
Abstract:With the wide application of microlens, the rapid detection of optical properties of microlens is a key problem to be solved urgently by users and processors. Hartmann wavefront sensor was used to detect the wavefront of microlens and to quickly characterize its optical properties. In order to verify the feasibility of this method, the overall scheme of measuring microlens wavefront with Hartmann sensor was designed, the measurement experiment system was set up, and the measurement error source was analyzed. Combined with the experimental scheme, the centroid extraction algorithm and the Zernike polynomial wavefront reconstruction algorithm were studied to ensure the centroid extraction accuracy and wavefront reconstruction accuracy of the spot, and the effect of aperture diffraction of the lens to be tested on the wavefront detection accuracy was analyzed. The wavefront error and primary aberration information of a 200 μm convex lens were obtained, which provided a new idea for the rapid detection of optical properties of microlenses.
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Keywords:
- microlens /
- Hartmann sensor /
- centroid extraction /
- wavefront reconstruction /
- optical property
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引言
微透镜及其阵列器件是光学透镜微型化、芯片化发展的必然趋势，在光通信、光整形、光探测等领域应用广泛。微透镜的检测方法目前主要有探针测量[1-2]和干涉测量[3]两种。基于探针的接触测量法难以保证透镜中心位置的获取，需要多次重复测量，且对光学元件表面易造成损伤[4-5]；干涉非接触测量精度较高，但结构复杂，对环境要求较为苛刻、价格昂贵[6-7]、测试效率低。哈特曼传感器[8]具有体积较小，精度较高，动态影响可以通过多次采样取平均来消除的特点，目前被广泛使用。
目前多名学者曾在利用哈特曼传感器测量透镜性能方面进行过研究，如西安工业大学的田爱玲等人[9]对口径为3 mm的透镜进行测量，利用Zernike多项式重构波前，得到了待测透镜的波前及像差参数；长春光学精密机械与物理研究所的王晶等人[10]提出了一种夏克哈特曼扫描拼接检测平面镜面形的方法；成都光电技术研究所的戴勋义[11]提出了一种扫描哈特曼法检测大口径望远镜像质的方法。以上研究均针对大口径透镜进行检测，利用哈特曼传感器测量小尺寸透镜目前还没有成熟技术。本文在前人研究的基础上，重新设计测试方案，首次利用该方法测试并分析其可行性，主要针对更小口径的微透镜进行波前测试研究。重点研究了测量方案，分析方案中误差产生及消除的办法，并结合实际测试，实现了对口径为200 μm凸透镜的光学性能检测。
1 测量总体方案设计
1.1 总体方案
测试系统总体方案光路图如图1所示，主要由测量光路和参考光路两部分构成。测量光路包括发射激光器、激光扩束器、分光棱镜、平面反射镜；参考光路包括发射激光器、激光扩束器、分光棱镜、标准透镜、待测透镜和平面反射镜。需保证所使用的两个平面反射镜面型偏差一致，经干涉仪测试的标准透镜的面型偏差对测量精度不产生影响，或作为系统误差剔除。
1.2 具体方案
图1中，波长632.8 nm激光器1发出的光束经扩束镜组2进行扩束、准直，通过分光棱镜3后，透射光直接入射到标准平面反射镜7并按原路返回，经分光棱镜3反射后入射至哈特曼传感器8获得参考光路波像差。经分光棱镜3反射的光束经聚焦透镜4会聚后入射至待测小透镜5，聚焦透镜4焦点与待测透镜5焦点重合。经待测透镜5出射的平行光束经标准平面反射镜6反射后按原路返回，经分光棱镜3透射后入射至哈特曼传感器获得待测透镜波像差，将第二次获得的波前减去第一次获得的波前，即可得到待测透镜的波像差。
1.3 指标分解
根据光通信耦合的实际需求，口径200 μm的透镜波前检测精度要求保证均方根（root-mean-square, RMS）误差≤1/16 λ。分析哈特曼传感器主要参数，设计完成该传感器检测系统的搭建，基准波长为632.8 nm，质心算法精度须达到0.02 pixel，波前检测的RMS达到1/20 λ。
2 测量误差来源分析
测试系统误差来源主要有两个方面：一方面是哈特曼传感器自身的检测误差，主要包括质心提取误差${\sigma _1}$和波前重构误差${\sigma _2}$；另一方面是微透镜孔径衍射效应带来的误差${\sigma _3}$。需对3个部分进行分析，保证微透镜波前的检测精度。
2.1 质心提取方法及精度
哈特曼传感器在检测微透镜波前时，通过CCD采集激光光斑图像[12]，由于像差的存在，该光斑是一个弥散圆，形状不规则，需对光斑质心提取算法进行研究。根据光斑特点，采用加权灰度平均质心提取算法来实现光斑质心的有效提取[13]。其计算表达式为
$$ {x_{\text c}} = \frac{{\displaystyle\mathop \sum \nolimits_{{{i}} = 1}^M \displaystyle\mathop \sum \nolimits_{{{j}} = 1}^N {x_{{{i}},{{j}}}}I_{{{i}},{{j}}}^w}}{{\displaystyle\mathop \sum \nolimits_{{{i}} = 1}^M \displaystyle\mathop \sum \nolimits_{{{j}} = 1}^N I_{{{i}},{{j}}}^w}} $$ (1) $$ {y_{\text c}} = \frac{{\displaystyle\mathop \sum \nolimits_{{{i}} = 1}^M \displaystyle\mathop \sum \nolimits_{{{j}} = 1}^N {y_{{{i}},{{j}}}}I_{{{i}},{{j}}}^w}}{{\displaystyle\mathop \sum \nolimits_{{{i}} = 1}^M \displaystyle\mathop \sum \nolimits_{{{j}} = 1}^N I_{{{i}},{{j}}}^w}} $$ (2) 式中：M×N为CCD的分辨率；$ x\mathit{_{{i},{j}}},y\mathit{_{{i},{j}}} $为$\left( {i,j} \right)$处的$x$坐标和$y$坐标；$I_{{{i}},{{j}}}^w$为$\left( {i,j} \right)$处像素灰度值的$w$次幂，$w$为像素灰度值的幂指数；$ x_{\mathrm{c}},y\mathrm{_c} $为光斑质心的$x$和$y$坐标。
CCD获取的是包含噪声的灰度图像，在对光斑质心提取之前，需对图片进行预处理，降低背景噪声的影响[14]。分别使用全局阈值法、自适应高斯阈值法和自适应均值阈值法对同一光斑质心提取多组数据，利用最小二乘法求出各自平均值。再利用3种方法对分布光斑质心提取20次，与各自的平均值相减，得出各自残余误差。根据贝塞尔公式计算标准差，求出光斑质心的提取标准差，如图2所示。$w$在2～3之间取值进行质心提取，精度最高，为了减小计算量，$w$通常取整数。当像素灰度值的幂指数为2时，质心提取精度相较于传统质心法（$w{\text{ = }}1$）有了很大的提高，且指数由2增加到3时精度相差不大，因此指数$w$取2即可。自适应均值阈值化在像素灰度值指数为2时，质心提取精度最高，即${\sigma _1}{\text{ = }}0.018$ pixel。
2.2 波前重构方法及精度
带有畸变的入射波前经微透镜阵列分割后，在焦面上形成一个不规则光斑阵列，计算每个光斑质心位置$ （x_{\mathrm{c}},y\mathrm{_c}） $与其理想位置$ （{x}_{0},{y}_{0}） $的偏移量，其与微透镜焦距$f'$的比值为子孔径范围内的波前平均斜率[15]，如式（3）所示：
$$ \left\{ \begin{array}{l}G_x=\dfrac{\Delta x}{f'}=\dfrac{x_{\text c}-x_0}{f'} \\ G_y=\dfrac{\Delta y}{f'}=\dfrac{y_{\text c}-y_0}{f'} \end{array} \right. $$ (3) 式中：$ G_x $为$ x $方向斜率；$ G_y $为$ y $方向斜率；$ (x_{\mathrm{c}},y_{\mathrm{c}}) $为计算得到的光斑质心位置；$({x_0},{y_0})$为光斑质心理想位置；$f'$为微透镜阵列焦距。
Zernike正交多项式的每一项都有明确的物理意义，并与初级像差具有一一对应关系，对进一步分析透镜的其他像差具有很好的指导作用[16]，因此利用Zernike正交多项式对波前进行重构。首先计算哈特曼传感器CCD像面多个子孔径质心的偏移量，得到其波前斜率的变化信息，使用Zernike正交多项式进行波面拟合[17]，如式（4）所示：
$$ W = \mathop \sum \limits_{k = 1}^K {a_k}{Z_k}\left( {x,y} \right) $$ (4) 式中：K为Zernike多项式阶数；${a_k}$表示Zernike系数；${Z_k}\left( {x,y} \right)$表示第k项Zernike多项式。用式（4）分别对$x$,$y$求偏导数，得到两个方向上的波前斜率：
$$ \left\{ \begin{array}{l} {G_x} = \displaystyle\sum \limits_{k = 1}^K {a_k}\dfrac{{\partial {{\text{Z}}_k}\left( {x,y} \right)}}{{\partial x}} \\ {G_y} = \displaystyle \sum \limits_{k = 1}^K {a_k}\dfrac{{\partial {{\text{Z}}_k}\left( {x,y} \right)}}{{\partial y}} \end{array} \right. $$ (5) 哈特曼波前传感器采用的子孔径数目为M，得到2×M个测量值。在所有的测量值中，有一半是$x$方向上的斜率，另一半是$y$方向上的斜率，波前斜率的矩阵可以表示为
$$ \left[\begin{array}{*{20}{c}}\dfrac{\partial Z_{11}(x,y)}{\partial x} & \dfrac{\partial Z_{12}(x,y)}{\partial x} & \cdots & \dfrac{\partial Z_{1K}(x,y)}{\partial x} \\ \dfrac{\partial Z_{21}(x,y)}{\partial x} & \dfrac{\partial Z_{22}(x,y)}{\partial x} & \cdots & \dfrac{\partial Z_{2K}(x,y)}{\partial x} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial Z_{M1}(x,y)}{\partial x} & \dfrac{\partial Z_{M2}(x,y)}{\partial x} & \cdots & \dfrac{\partial Z_{MK}(x,y)}{\partial x} \\ \dfrac{\partial Z_{11}(x,y)}{\partial y} & \dfrac{\partial Z_{12}(x,y)}{\partial y} & \cdots & \dfrac{\partial Z_{1K}(x,y)}{\partial y} \\ \dfrac{\partial Z_{21}(x,y)}{\partial y} & \dfrac{\partial Z_{22}(x,y)}{\partial y} & \cdots & \dfrac{\partial Z_{2K}(x,y)}{\partial y} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial Z_{M1}(x,y)}{\partial y} & \dfrac{\partial Z_{M2}(x,y)}{\partial y} & \cdots & \dfrac{\partial Z_{MK}(x,y)}{\partial y}\end{array}\right]\left[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{*{20}{c}}\boldsymbol{a}_1 \\ \boldsymbol{a}_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol{a}_K\end{array} \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{*{20}{c}}G_{X1} \\ G_{X2} \\ \vdots \\ \begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{*{20}{c}}G_{XM} \\ G_{Y1}\end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}}G_{Y2} \\ \vdots \\ G_{YM}\end{array}\end{array}\end{array}\right] $$ (6) 式（6）可以简写为
$$ {\boldsymbol{B}} = {\boldsymbol{Z}}'{\boldsymbol{a}} $$ (7) 式中：矢量${\boldsymbol{B}}$为斜率矢量；${\boldsymbol{a}}$是Zernike多项式系数，可表示为拟合系数列向量。则系数矩阵${\boldsymbol{a}}$可由${\boldsymbol{Z}}'$的伪逆矩阵得到：
$$ {\boldsymbol{a}} = ({\boldsymbol{Z}}'^{ {\mathrm{T}}}{\boldsymbol{Z}}')^{ - 1}{\boldsymbol{Z}}'^{ {\mathrm{T}}}{\boldsymbol{B}} $$ (8) 将求得的系数代入式（4），即可得到还原波前。当采用的Zernike阶数偏低时，高阶像差被解释成低阶像差，重构精度较低。当采用的Zernike阶数偏高时，低阶像差被解释为高阶像差，重构精度也随之下降。设定一组随机Zernike系数，利用MATLAB仿真生成一个已知波面，分别利用12阶、15阶、18阶、21阶、28阶和36阶Zernike多项式进行重构，其重构误差与Zernike多项式阶次的关系如表1所示。
表 1 Zernike多项式不同阶次的重构误差Table 1. Reconstruction errors of different orders of Zernike polynomial多项式阶次 12 15 18 21 28 36 RMS/λ 0.062 0 0.051 0.050 3 0.048 0 0.049 2 0.047 0 PV/λ 0.097 8 0.082 0.083 0 0.0814 0.079 6 0.076 5 待测波面经微透镜阵列进行分割，采样点数的多少也会对拟合精度造成影响。微透镜紧密排布，构成面积为7 mm×5 mm的阵列。当微透镜子孔径减小时，阵元个数增多，故采样点数增多，检测精度提高，但是哈特曼传感器的动态范围会降低；当子孔径增大时，采样点数减少，检测精度降低，动态范围增大。
子孔径的大小和数量存在制约关系，且口径小、曲率低的透镜加工难度较大。因此综合考虑，最终选择哈特曼微透镜阵列，其中每个子孔径尺寸为160 μm ，焦距为1.3 mm。通过菲涅耳数和艾里斑直径所占像素数来进一步判断哈特曼传感器的性能，系统的菲涅耳数为6.7，哈特曼传感器具备较高的灵敏度并且焦斑间的串扰可以忽略，艾里斑直径为13 μm，直径所占像素数为7 pixel×7 pixel，达到质心计算的精度要求。采用36阶Zernike多项式进行拟合，依次增加采样点数，哈特曼传感器检测到的波前直径覆盖15、20、25、27以及31个子透镜，采样点数对波前拟合精度的影响如表2所示。当多项式阶数确定时，采样点数的增多会在一定程度上提高拟合精度。但采样点数的多少并不是提高拟合精度的决定因素，当采样点数增加到一定数量后，拟合精度会趋于稳定。最终采用36阶Zernike多项式、采样点数为585个来进行拟合，拟合后的均方根误差RMS=0.047 λ，即${\sigma _2} = 0.047\lambda $。
表 2 采样点数对拟合误差的影响Table 2. Influence of sampling numbers on fitting errors采样点数 170 276 431 585 679 RMS/λ 0.081 0.062 0 0.051 3 0.047 0 0.046 8 PV/λ 0.102 0.096 8 0.083 3 0.076 5 0.076 6 2.3 衍射效应对波前检测的影响
由式（1）和式（2）可知，光斑质心的提取精度与光斑的光强分布有关，被测微透镜在测量光路中会发生明显的衍射现象。光线经微透镜发生衍射之后，焦平面上的光斑强度呈高斯分布，且存在次级衍射峰，使光斑质心位置发生偏移导致波前重构误差。因此哈特曼传感器检测到的相位信息包含微透镜衍射效应带来的相位改变，质心偏移量图如图3所示。以被测口径为200 μm的微透镜为例，采用λ=632.8 nm的理想平行光入射，其在焦平面上的质心位置如图3（a）所示，红色为理想无衍射光斑质心，蓝色为有衍射光斑质心。为了分析衍射效应对光斑质心偏移量的影响，分别对口径为20 μm、50 μm、80 μm、100 μm以及200 μm的微透镜进行分析，结果如图3（b）所示，透镜口径越小，其衍射效应越明显，相应的质心偏移量就越大。
以口径200 μm透镜为例，使用36阶Zernike多项式对其理论计算的波前进行还原，如图4所示。图4（a）为不考虑衍射时的波前还原图，波前PV为2.526 39 λ，RMS为0.706 λ；图4（b）为考虑衍射时的波前还原图，波前PV为2.564 79 λ，RMS为0.713 97 λ，衍射所带来的波前误差$ \sigma_3=0.007\ 9\mathit{\lambda} $。
总误差由合成公式表示：
$$ {\sigma _{}} = \sqrt {\sigma _1^2 + \sigma _2^2{\text{ + }}\sigma _3^2} = 0.048\lambda \lt \frac{\lambda }{{20}} $$ (9) 式中${\sigma _{}}$为总体误差。按照以上误差分配方案，总体检测误差为0.048 λ，略低于预期1/20 λ的检测精度要求，满足高精度检测条件。
3 实验验证
3.1 实验测试
按照图1所述的波前像差检测方案，搭建了如图5所示的检测光路。开始检测前，需将准直镜组2的两片透镜焦点重合放置，调整各元件位置使所有元件的光轴重合，对除待测透镜以外的光学元件的波前像差进行测试。测试时，通过放置聚焦透镜和待测透镜，移除标准平面反射镜7或对其进行遮挡，对所有光学元件的波前像差进行测试，二者相减可得到待测透镜波前像差的相对测量结果。由于待测透镜5口径较小，直接测量时入射到哈特曼传感器8的采样点数较少，影响测量精度，因此通过准直镜4扩束增加采样点数来提高测量精度。通过观察哈特曼传感器8上的光斑大小，确定聚焦透镜4和待测透镜5焦点位置是否重合。由于微米级透镜轻微倾斜会导致光斑形状发生很大变化，可以通过Zemax等仿真软件对其各个方向倾斜以及离焦情况进行仿真，从而进行针对性调整。另外，标准平面反射镜6应该尽量靠近待测透镜5，二者间距保证在3 mm左右，效果最佳。
3.2 数据分析
实验光斑图如图6所示，其中参考光路采集到的光斑图像如图6（a）所示，测量光路采集到的光斑图像如图6（b）所示。将哈特曼传感器获得的波前斜率信息利用 Zernike 多项式进行拟合，待测透镜的Zernike 多项式前36 项系数如表3所示。根据波前系数拟合出的波前像差如图7所示，其波前误差值RMS为69 nm，PV为266.8 nm。
表 3 待测透镜Zernike系数Table 3. Zernike coefficients of lens under testZernike系数 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 计算结果 −0.006 −0.108 9 −0.070 6 0.010 9 0.062 2 0.008 2 0.015 4 0.013 4 −0.001 Zernike系数 Z10 Z11 Z12 Z13 Z14 Z15 Z16 Z17 Z18 计算结果 −0.009 4 −0.002 1 −0.002 2 −0.010 6 0.005 −0.002 5 −0.001 8 0.001 8 0.002 Zernike系数 Z19 Z20 Z21 Z22 Z23 Z24 Z25 Z26 Z27 计算结果 0.000 2 −0.002 8 −0.000 2 0.000 6 0.007 0.009 0.001 5 −0.001 0.001 3 Zernike系数 Z28 Z29 Z30 Z31 Z32 Z33 Z34 Z35 Z36 计算结果 0.000 4 −0.001 0.001 6 −0.000 2 0.000 3 0.000 5 0.000 7 0.000 2 −0.001 7 Zernike多项式每一项的系数表示透镜的不同像差，如表4所示。图8则表示拟合后透镜的初级像差，证明了通过哈特曼传感器检测微透镜光学性能的有效性。
表 4 待测微透镜各种像差一览Table 4. List of aberrations of microlenses to be tested像差 离焦 0°像散 45°像散 X方向彗
差和倾斜大小/μm 0.010 9 0.062 2 0.008 2 0.015 4 像差 Y方向彗
差和倾斜球差和离焦 0°三叶像散 大小/μm 0.013 4 −0.001 −0.009 4 4 结论
本文研究了利用哈特曼传感器测量微透镜光学性能的有效性，分析了该方法的主要误差来源及减小措施。通过对口径为200 μm的凸透镜进行检测，波前误差值RMS为69 nm，PV值为266.8 nm，略低于干涉仪检测结果（RMS为43 nm，PV值为157 nm）。测试表明：通过选取合适的透镜聚焦及提高其采样点数，利用自适应均值阈值化的方法对图像进行预处理，采用加权灰度平均质心提取算法进行计算，利用哈特曼传感器可实现对微透镜光学性能的有效测量。后续可以通过提高采样点数以及质心提取、波前重构精度，进一步提高检测精度。相信改善实验条件并实现量产后，可达到和干涉仪相当的检测精度，即可实现对微光学元件的高精度检测。
随着微透镜及其阵列的广泛应用，该方法可以有效检测其光学性能，并为微透镜的生产提供质量保障，具有广泛的应用价值。
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表 1 Zernike多项式不同阶次的重构误差
Table 1 Reconstruction errors of different orders of Zernike polynomial
多项式阶次 12 15 18 21 28 36 RMS/λ 0.062 0 0.051 0.050 3 0.048 0 0.049 2 0.047 0 PV/λ 0.097 8 0.082 0.083 0 0.0814 0.079 6 0.076 5 
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表 2 采样点数对拟合误差的影响
Table 2 Influence of sampling numbers on fitting errors
采样点数 170 276 431 585 679 RMS/λ 0.081 0.062 0 0.051 3 0.047 0 0.046 8 PV/λ 0.102 0.096 8 0.083 3 0.076 5 0.076 6
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表 3 待测透镜Zernike系数
Table 3 Zernike coefficients of lens under test
Zernike系数 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8 Z9 计算结果 −0.006 −0.108 9 −0.070 6 0.010 9 0.062 2 0.008 2 0.015 4 0.013 4 −0.001 Zernike系数 Z10 Z11 Z12 Z13 Z14 Z15 Z16 Z17 Z18 计算结果 −0.009 4 −0.002 1 −0.002 2 −0.010 6 0.005 −0.002 5 −0.001 8 0.001 8 0.002 Zernike系数 Z19 Z20 Z21 Z22 Z23 Z24 Z25 Z26 Z27 计算结果 0.000 2 −0.002 8 −0.000 2 0.000 6 0.007 0.009 0.001 5 −0.001 0.001 3 Zernike系数 Z28 Z29 Z30 Z31 Z32 Z33 Z34 Z35 Z36 计算结果 0.000 4 −0.001 0.001 6 −0.000 2 0.000 3 0.000 5 0.000 7 0.000 2 −0.001 7
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表 4 待测微透镜各种像差一览
Table 4 List of aberrations of microlenses to be tested
像差 离焦 0°像散 45°像散 X方向彗
差和倾斜大小/μm 0.010 9 0.062 2 0.008 2 0.015 4 像差 Y方向彗
差和倾斜球差和离焦 0°三叶像散 大小/μm 0.013 4 −0.001 −0.009 4
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