引言

球幕投影能够为置身于其中的观众带来强烈的沉浸感和震撼的视觉体验，近年来已经成为各大型文化旅游主题公园的重要项目。另外，其投影形式可以更好地展示星空、地貌等景象，以及各种自然现象，故球幕投影也广泛应用于科技、教育等领域。最初的球幕投影采用一台投影机配一只鱼眼投影镜头^[1-2]的形式，镜头位于球心附近，将影像投射在半个球幕(或近半球、超半球)。此方式的缺点是，整体图像照度低，像素利用率低，且球幕上图像照度、放大率从中心到边缘视场呈现出迅速变化的趋势，整体效果极不均匀，另外, 边缘处图像的畸变也会比较严重，已无法满足人们的高质量观影需求。为解决上述问题，设计了球幕双拼投影镜头，将2只规格完全一致的镜头分别安装在2台投影机上，并置于球幕的两极，通过拼接融合的方式将影像投满球幕。

由于投影机厂家只提供标准镜头或常规短焦投影镜头，无法满足以上双通道投影方案的应用，故此类镜头只能通过镜头研制厂家进行定制。本文设计的双通道投影镜头应用于3.05 cm(1.2英寸)3DMD芯片技术投影机，该类型投影机属于高端投影机，与单芯片DMD投影机和3LCD投影机相比，具有更佳丰富的色彩和更高的亮度，同时也具有更大尺寸的棱镜，故与之匹配的镜头应具有较长的后工作距，设计难度较大。目前国外仅有美国、德国、日本的三家公司提供此类镜头，且价格高，供货周期长，国内只有秦皇岛视听机械研究所有限公司承接此类镜头产品的定制需求。

1   设计思想

1.1   机位设计

两台投影机(PA和PB)的机位如图 1所示。投影机位于球幕两极，为确保足够的融合区域，每一台投影机在水平方向的视场角应不小于95°，竖直方向的视场角不小于47°。单机位投影，投影机位于球心，占据了较好的观影区域，且遮挡了部分区域观众的视线。与单机位投影方式相比，双机位方案不会对观众的视线造成任何影响，且水平和竖直方向的视场角都大幅度减小，而畸变是随着视场角的增大而增大的，故双机位方案畸变将得到极大的改善。由于投影区域面积变小，照度和照度均匀度也会相应地得到大幅度提高。机器在竖直方向保持一定倾角，使竖直方向上下边缘相对于镜头具有相等的视场角，这样可以减缓竖直方向投影的不对称性，有利于提高各个视场的放大率的均匀性。

图  1  机位图

Figure  1.  Projector layout

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1.2   片源覆盖区域的设计

为最大化地提高像素利用率，两台投影机的片源制作为近似于以长边为直径的半圆形，且预留出一定的融合区域，具体的片源覆盖区域如图 2所示。图 2中A为投影机PA单独投影的区域，B为投影机PB单独投影的区域，AB为两台投影机叠加融合的区域。依此方案计算，对每台投影机而言，芯片利用率约达到75%以上。按照单机投影方案，片源覆盖的区域为以芯片短边为直径的圆，芯片利用率仅为41%，造成了像素的极大浪费。

图  2  投影机A与投影机B的片源图

Figure  2.  Image area in chip of projector A and B

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1.3   设计参数的确定

本文为1.2英寸3DMD芯片技术投影机设计了一款球幕双拼投影镜头。根据片源的设计思路，像高即为芯片长边尺寸。本设计拟定水平方向视场角为100°，竖直方向视场角为50°。按照“等立体角”成像关系，即y′=2f sin(ω/2), 其中，y′为镜头半像高，ω为物方半视场角，则可计算出镜头的焦距。镜头光学分辨率应满足投影机分辨率2 048×1 080像素的使用需求，由此计算出镜头的MTF截止频率为:(2 048/2)/长边边长=38 lp/mm。按照光阀芯片孔径角12°计算，投影镜头的F^#应为2.5。综上所述，本文对光学系统提出的设计指标如表 1所示。

表  1  镜头参数

Table  1.  Lens parameters

参数	指标
波长/nm	430~680
焦距/mm	16.5±0.5
视场角/(°)	100
F#	2.5
各视场传递函数@38 lp/mm	≥0.5
后工作距/mm	>100
口径/mm	< 105

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1.4   关于小口径的分析

以往适配于该机型的大视场角投影镜头口径过大，首片透镜的口径达到或超过150 mm，增加了光学零件的加工难度，更为严重的是导致镜头重心失衡，影响了光学成像的稳定性和对称性。故本设计对镜头口径提出了严格的限定，即减小光线在第一片镜的入射高度。

从设计参数可知，镜头具有超广角和超长后工作距的特点，这符合反远距^[3-4]光学系统的结构特点, 故本文选取了一个反远距结构作为初始结构。反远距光路原理如图 3所示。

图  3  反远距结构原理图

Figure  3.  Principle diagram of inverted-telephoto structure

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反远距结构由具有负光焦度的负组φ₁和具有正光焦度的正组φ₂构成，图 3中，h₁为光线在φ₁的入射高度，h₂为光线在φ₂的入射高度l′₂为像距，d为两组之间的距离，u₁为物方孔径角，u′₂为像方孔径角。减小口径主要是减小h₁，由图 3可知：

其中像距l′₂由投影机光学引擎内部结构决定，u′₂由光阀芯片孔径角决定，故h₂可确定。在广角系统中，h₂高于h₁，u₁为负值，故h₁=h₂+d·|u₁|。所以，减小h₁可以通过减小d·|u₁|来实现，即减小两组之间间隔d和|u₁|(即边缘光线在负组透镜的出射角度)可以有效减小镜头口径。将光栏置于两组之间，置于后组之前，有利于减小d。

2   设计过程和结果

由于本系统适用的机型为基于3DMD芯片技术的机型，其光学引擎^[5-6]中的棱镜相当于同规格1DMD或3LCD投影机棱镜尺寸的2~3倍，故要求该系统具有相当长的后工作距。由于系统具有大视场角，所以系统具有较大的反远比，在光学手册可查到的结构中，反远比基本在2.8:1以内，本文设计的镜头反远比应达到6:1，这是本结构的特点，也是本结构的设计难点。另外，棱镜即平行平板引起的初级像差如(3)式~(9)式所示，平行平板在任何情况下不发生场曲。在非平行光路中，当孔径角u₁较大时，产生较大的球差和位置色差；当视场角u₂较大时，产生较大的像散、畸变和倍率色差。在棱镜尺寸较大的情况下，平行平板对像差的影响将更加显著，故设计时需将棱镜加入光学系统。其中，

球差：

彗差：

像散：

匹兹伐尔场曲：

畸变：

位置色差：

倍率色差：

本文选择的初始结构为之前设计的一款短焦投影镜头, 如图 4所示。镜头由8片透镜构成，包含1组双胶合透镜，其反远比为3:1，视场角为74°。

图  4  初始光学结构

Figure  4.  Initial optical structure

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将初始结构按本设计要求的焦距值进行等比例缩放，设置好视场角，在优化函数中控制焦距和像高，进行初步的优化。由于视场角较大，会出现光线溢出的现象，需要找到导致光线溢出的敏感面，调节该面的曲率半径或前后的空气间隔和透镜厚度，建立起主要参数基本符合要求的光学结构。

初始结构中，光栏位于后组中间，按照前述的分析，将光栏调至后组之前，以利于口径的减小。该系统光栏之后的片数过少，在像差的校正方面无法达到设计要求，故需要将后组复杂化。复杂化的后组包括3对双胶合透镜和一个凸透镜，利用材料FK61的低折射率和低色散性与重火石玻璃的高折射率高色散性能匹配的特性，对色差和球差进行了充分的补偿。由于不需要按照物像相似的原则来要求畸变，前组结构做了较大的调整和简化，前两片调整为负光焦度极大的凹透镜，降低了光线在透镜表面的入射高度，第3片与第4片透镜调整为双胶合透镜，对发散的光束进行收敛。由于投影机光学引擎在工作时温度较高，故投影镜头的材料需要选择耐高温，性能稳定的光学玻璃，而不能选用树脂材料。

对于常规系统而言，照度计算公式为${E_\omega } = T \cdot \frac{{\pi KL}}{4}{\left( {\frac{D}{{f'}}} \right)^2} \cdot \;{\cos ^4}\omega ' $, 故像点照度将按照cos⁴ ω′的规律^[7-8]下降。对于超广角镜头而言，由于光栏球差和光栏彗差的存在，对于边缘视场和中心视场而言，其入瞳无论是位置还是口径都存在相当大的差异，故该规律已不适合于大视场角成像系统。为此，《鱼眼镜头光学》针对超广角镜头的照度进行了分析，并给出了相对照度公式E′=K_a· E′₀ cos⁴ω′, 其中，K_a为轴外斜光束截面积与轴上点光束截面积之比，故引入像差渐晕^[9-10]，提高K_a是改善边缘视场照度的有效办法。

最终设计结果如图 5所示。将棱镜加入系统中，位于芯片之前，该系统由11片透镜组成，其中包括4对双胶合透镜，焦距为17 mm，F^#为2.5，后工作距达到101 mm，第1片透镜的口径仅为102 mm，全部面形易于加工，像差得到了充分的校正，如图 6~图 10所示。从图 6可以看出，1.0视场的MTF值在尼奎斯特频率38 lp/mm处达到0.5，其余视场均达到65%以上，0.3视场以内则接近极限频率。从点列图可以看到，各视场取样像点的半径均远远小于一个像素的尺寸，横向色差控制在4.7 μm以内，小于半个像素，垂轴像差也得到了很好的控制，边缘视场的相对照度达到72%。该镜头已完成小批量加工，并应用于各大球幕影院，图 11为该款镜头的实物照片。

图  5  最终光学结构

Figure  5.  Final optical structure

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图  6  光学传递函数

Figure  6.  MTF

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图  7  点列图

Figure  7.  Spot diagram

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图  8  横向色差

Figure  8.  Lateral chromatic aberration

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图  9  垂轴像差

Figure  9.  Perpendicular aberration

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图  10  相对照度

Figure  10.  Perpendicular aberration

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图  11  镜头外观图

Figure  11.  Photo of lenses appearance

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3   公差分析

为分析设计结果的可行性，进行了公差分析。各相关参数设置的公差值为：半径光圈为3，厚度间隔为±0.03 mm，元件倾斜为±0.03°，元件偏心为±0.04 mm，折射率0.001，阿贝数1%。运行模式为灵敏度分析，以RMS均方根半径作为评价标准。经分析，对系统影响最大的10项公差如表 2所示。由表 2可知，光栏后第一组双胶合透镜中凸透镜的阿贝数对整个公差的影响最大，之后是镜头最末端凸透镜的元件偏心及面偏心。

表  2  对系统影响最大的10项公差

Table  2.  10 tolerance having the greatest impact on system

类型	值	标准	变化
TABB 10	-0.283 239 00	0.007 019 26	0.002 902 93
TABB 10	0.283 239 00	0.006 844 61	0.002 728 27
TABB 16	-0.254 772 90	0.005 976 54	0.001 860 20
TABB 16	0.254 772 90	0.005 952 69	0.001 836 35
TABB 9	-0.465 759 11	0.005 778 60	0.001 662 27
TABB 9	0.465 759 11	0.005 765 55	0.001 649 21
TSTY 19	-0.016 000 00	0.005 334 04	0.001 217 70
TSTY 19	0.016 000 00	0.005 334 04	0.001 217 70
TSTX 19	-0.016 000 00	0.005 334 04	0.001 217 70
TSTX 19	0.016 000 00	0.005 334 04	0.001 217 70

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蒙特卡罗计算结果如图 12所示。由图 12可知，最好结果为0.004 4，最差结果为0.01 1，平均结果为0.007 3，因此该设计为加工装配的误差预留了足够的空间，具有较好的工艺性。

图  12  蒙特卡洛计算结果

Figure  12.  Mont Carlo calculation results

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4   结论

本文首先设计了双通道球幕投影方案，并基于该方案为1.2英寸3DMD芯片投影机设计了一款球幕双通道投影镜头，镜头采用反远距结构形式，达到了大视场角大反远比的要求。将第1片透镜的口径压缩至102 mm，解决了因口径过大而造成的重心不稳的问题。所设计的投影方案和镜头解决了以往球幕投影像面照度过低且不均匀，边缘变形大的问题。该镜头由7组11片透镜组成，F^#为2.5，反远比达到6:1。该镜头在各个视场均具有较高的成像质量，且像质均匀，工艺性好，易于加工。