引言

头戴显示(head- mounted display，HMD)系统是AR技术的重要组件^[1-3]，目前被广泛应用在医疗、军事、娱乐和教育等领域。为了适应设备需求，光学设计者选用了诸多不同结构对波导式头戴显示系统进行优化改良，增强现实领域的主要应用有birdbath结构^[4-5]、离轴反射式结构^[6-7]、自由曲面棱镜^[8-9]、几何波导^[10-11]以及衍射波导^{[12- 13]}。市场上普遍采用几何光学结构的头戴显示设备都具有出瞳较小、占用空间较大等缺点，系统体积和重量较大，不适用于头部佩戴。而衍射波导系统可以将准直投影镜头产生的平行光进行扩展和传输，达到光瞳扩展、占用空间小、质量轻等效果，适用于眼镜式头戴显示设备^[14]。

2012年，谷歌眼镜的推出引起了全球范围内新型头戴显示热潮，推动了HMD的快速发展^[15]。虽然波导式头戴显示系统的真实图像光学效率较好，但虚拟图像光学效率低于真实图像，光学效率的不平衡会导致眼睛疲劳。为了解决这一问题，2015年，Hung等人^[16]提出了一种具有微结构的光波导，该系统通过全内反射(total internal reflection, TIR)传输虚拟图像，从而提高虚拟图像的光学效率。2016年，Zhao等人^[17]提出了基于三角形微结构的光波导，该系统虚拟图像的光学效率大于真实图像的光学效率，克服了光学效率平衡的限制。2018年，潘成等人^[18]使用进化算法优化了耦合光栅结构，补偿了使用硅基液晶(liquid crystal on silicon, LCoS)照明时的自然渐晕效应，并提高了耦合效率。上述设计的波导式头戴显示系统，实现了光学效率的提升，但焦点仅在于对光波导和衍射光栅进行优化，对于前端准直投影镜头的能量损失分析不足。2010年，Constanze Großmann等人针对有机发光二极管(organic light-emitting diode, OLED)设计了两套微投影系统，通过选用与高亮度相结合的定向辐射OLED提高光学效率，但并未应用于AR领域。2019年，Koneva等人^[19]设计了几种用于LCoS等图像源的AR光学系统，但都是用于几何光学波导，并未考虑衍射波导系统^[20]。

现阶段Micro-LED技术已经在市场上迅速发展。它具有亮度更高、对比度更高以及自发光而形成的紧凑结构等优势，逐渐应用在HMD中。但渐晕会导致准直投影镜头边缘视场光学效率低，照度不均匀等。因此针对衍射光栅波导和Micro-LED图像源，设计一套边缘视场光学效率较高的准直投影镜头很有必要。

本文针对衍射光栅波导光学系统边缘视场光学效率较低、照度不均匀的问题，设计了一个结构紧凑、像质优良的准直投影镜头，通过靠近图像源位置增加单片非球面场镜来改变光强分布。虽然增加场镜的方法在光学设计中较为常见^[21-22]，但多用于探测系统中。随着头戴显示系统FOV需求越来越大，其边缘视场光学效率较低、照度不均匀的问题越发显著。本文率先将增加场镜应用在Micro-LED图像源的衍射光栅波导AR显示设计中，并给出通过计算场镜参数提高边缘亮度和照明均匀性的方法，可以在小尺寸耦入光栅的情况下实现较小的系统横向尺寸，为用户提供了更好的体验。与未加场镜镜头进行对比分析，发现每个准直投影镜头的对角线FOV均为41.2°和F^#为1.87，边缘视场光学效率提升15%，照度均匀性提高了14%，该系统可以应用于新型图像源的衍射光栅波导HMD中。

1   基本原理

衍射波导式HMD结构如图1所示。该系统一般由微图像源、准直投影镜头和衍射光栅波导组成，来自微图像源的光线经过准直投影镜头后，以不同角度的平行光入射波导系统。利用耦入光栅衍射到波导中的光束，由于全反射原理被限制在其中向前传输。当光束进入耦出光栅区域时，光束一部分发生衍射，破坏全反射条件，从波导中出射后在观察者眼瞳上呈现图像；另一部分光束继续向前传输达到出瞳扩展的效果。图1(b)中二维扩瞳(two dimensional exit pupil expansion, 2D EPE)比图1(a)中一维扩瞳(one dimensional exit pupil expansion,1D EPE)在结构上多加了扩展光栅，在出瞳上多扩展一个维度^[23-24]。

图  1  衍射波导式HMD系统结构图

DOE1：耦入光栅；DOE2：扩展光栅；DOE3：耦出光栅

Figure  1.  Structure diagram of diffractive waveguide HMD

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Micro-LED的发光角度较大，并且发光强度随角度变化明显。该发光强度分布增大了准直投影镜头的数值孔径，这是收集足够的光用以明亮投影所必需的^{[19, 25]}。准直投影镜头示意图如图2所示。图2(a)中用阴影表示能够进入镜头的光能量。此时光学效率足够，但准直投影镜头的尺寸相对于图像源显著增大，不适用于头戴显示系统。如果只减小光学系统尺寸，渐晕逐渐增大，准直投影镜头接收到的边缘视场光线减少，如图2(b)所示，大部分能量无法进入准直投影镜头，直接导致镜头光学效率降低、照度不均匀。

图  2  准直投影镜头示意图

Figure  2.  Schematic diagram of collimating projection lens

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为了提高边缘视场光学效率和照度均匀性，不增加光学系统尺寸，本文提出在Micro-LED像源前增加单片场镜，用来改变发光强度分布。通过计算得到的场镜参数，使得最终镜头边缘视场光学效率和照度均匀性增加。将微图像源和场镜组合定义为新的图像源，如图2（c）所示。图2(c)相比于图2(b)，总光通量相等，但用阴影表示的镜头所接收的光能量增多，边缘视场变化尤其明显，更多的光能进入光学系统，降低了能量传输损耗，提高了系统照度均匀性。

增加场镜不仅可以提高边缘视场光学效率和照度均匀性，也可以在横向上减小系统后截距。准直投影镜头光路图如图3所示。从图3(a)可知，当未加场镜时，后截距为L₁，光瞳衔接时光栅波导与光学系统距离较远，不适合头戴显示小型化。如果只将光栅波导位置提前，其耦入光栅会随之增大，成本增加。如图3(b)所示，当加场镜时，通过场镜折转光路，使得后截距L₂小于L₁，波导与光学系统距离变小，必要时可以使波导紧贴光学系统。在耦入光栅较小情况下，仍能保证较小的系统横向尺寸，适用于衍射光栅波导系统。

图  3  准直投影镜头光路图

Figure  3.  Optical path diagram of collimating projection lens

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如图4所示，假设微图像源上一实际发光点P₁的出射角度为u，由P₁出射角度向上张开一个小张角为Δu，其在场镜上照射的区域长度为Δy。根据几何位置，角度 u、Δu 和长度 Δy 之间的关系为

式中：L_o为场镜到微图像源的距离（可以取很小）。

图  4  实际发光点P₁和虚拟发光点P₂的光路图

Figure  4.  Optical path diagram of actual luminous point P₁ and virtual luminous point P₂

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假设经过场镜折射之后会聚形成的虚拟发光点P₂的出射角度为u_p，则虚拟发光点角度u_p与实际发光点角度u的关系为

式中：h为发光点P₁到照射区域下边缘的垂直距离；h_o 为发光点P₁到光轴的垂直距离；φ为场镜的光焦度。定义折射后上边缘光线为u_p1，下边缘光线为u_p2，则u_p1、u_p2的光线公式分别为

由式(3)和式(4)可以求得P₂点的横坐标为

P₂到A点的距离x_p为

光源发光强度表达式为

式中：Φ_v为光通量； S为立体角在照射表面上所截面积；r为发光点到照射表面的距离。因为场镜不会导致光通量变化，所以在场镜位置处，光通量Φ和面积S的比值为一定值k。则Micro-LED图像源和加场镜后新图像源发光强度表达式为

式中：x为P₁到A点的距离；x_p为P₂到A点的距离。

Micro-LED图像源与新图像源的关系为

通过图4中几何关系可以计算出：

由式(6)、式(10)～式(12)可知，经过加场镜后新图像源的发光强度分布表达式为

如果L_o无限小，为了保证新图像源在对应角度的发光强度大于Micro-LED图像源，则角度u需要满足不等式：

发光强度模拟结果如图5所示。图5（a）显示了L_o为0.1 mm，场镜焦距f为10 mm，h_o分别为0.875 mm、1.237 mm和1.75 mm时发光强度模拟结果。图5(b)显示了L_o为0.1 mm，h_o为1.75 mm，f分别为14 mm、10 mm和7 mm时发光强度模拟结果。图6显示了不同场镜焦距下发光强度最大时的角度以及场镜与光学系统的距离，模拟了图像源上不同发光点h_o=1.75 mm，h_o=1.237 mm，h_o=0.875 mm处的结果，不同曲线表示不同的发光点高度。从图5和图6可以看出，随着h_o的增加，经过场镜的发光强度分布向光轴倾斜角变大；随着f的增加，经过场镜的发光强度分布向光轴倾斜角变小。可以通过图像源的大小和准直投影镜头的距离，求得发光强度分布最合适的角度，进而计算出场镜焦距，使得此时光学系统光学效率最高、照度均匀性最高。也就是说，当光学系统总长在5 mm～15 mm之间时，场镜焦距最佳区间为7 mm～14 mm。下一步进行场镜设计和优化，以实现最佳效果。

图  5  发光强度模拟图

Figure  5.  Simulation diagram of luminous intensity

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图  6  不同场镜焦距下发光强度最大时对应的角度以及场镜与光学系统的距离

Figure  6.  Angles corresponding to the maximum luminous intensity at different field lens focal lengths and distance between field lens and optical system

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2   准直投影镜头的光学设计

为了描述增加场镜准直投影镜头的设计，本文将设计分为以下几个阶段。

2.1   设计目标

本文设计的加场镜的准直投影镜头，用来减少渐晕，提高边缘视场的光学效率、照度均匀性和减小系统横向尺寸。选择对角线0.13"的Micro-LED作为图像源，分辨率为640像素×480像素，像素尺寸为4 μm，中心波长为530 nm。根据二维扩瞳原理，波导系统能够扩展出瞳，不增加拉格朗日不变量，可以在较小的光学系统出瞳情况下得到很大的窥视窗，因而出瞳直径取2.31 mm。取出瞳距大于1.5 mm，保证准直投影系统与波导正常衔接，以便系统安装与调试。

有效视场角边界受到TIR条件和光栅级次是否存在共同限制^{[24, 26]}。k_x和k_y分别是一阶反射波矢量在x和y方向上的分量，TIR和一阶反射存在的条件为

式中：λ为波段范围；n₀和n_w为入射介质和波导的折射率。此不等式满足时，才能保证所有视场的光线均可以成像。

在本文设计中，波导材料选择ZF13，折射率在530 nm处为1.795。将光栅周期设置为392 nm，最大有效对角线FOV为41.2°。由于图像源是4∶3的矩形，则FOV可以达到32.96°(H)×24.72°(V)。准直投影镜头参数见表1所示。

表  1  准直投影镜头光学设计参数

Table  1.  Design specifications of collimating projection lens

Items	Specifications
Micro image source
Microdisplay	Micro-LED: Green
Active area/(")	0.13(2.64 mm×2.02 mm)
Resolution/pixels	640×480
Pixel size/μm	4
Central wavelength/nm	530
Luminous angle/(°)	55
Collimating lens
Field of view/(°)	41.2(diagonal), 32.96(H)×24.72(V)
Effective focal length/mm	4.39
Exit pupil diameter/mm	2.31
Exit pupil distance/mm	>1.5
F#	1.87

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2.2   场镜设计

在本文设计中，准直投影镜头具有大视场角、出瞳位于最后镜面的后方等特点，设计时主要校正的像差为轴上像差和球差。由于系统全视场角较大，因此需要校正轴外像差、彗差、像散和场曲。准直投影镜头由(+-++)排列的4个透镜组成，第二片透镜是负透镜，以补偿准直投影镜头的Petzval总和。

光波导和准直投影镜头如图7所示。图7中系统焦距为4.39 mm，场镜焦距为9.8 mm，出瞳直径为2.31 mm，出瞳距>1.5 mm，视场角为41.2°，总长为8.86 mm。在奈奎斯特频率下，全视场范围内在125 lp/mm时调制传递函数(modulation transfer function, MTF)值大于0.35。

图  7  准直投影镜头和波导布局

Figure  7.  Layout of collimating projection lens and waveguide

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基于上面的光学系统，开始设计场镜。由于非球面设计自由度较大，其中偶次非球面更容易设计和优化，适用于旋转对称的透镜，因此，场镜的曲面设置为偶次非球面，场镜曲面示意图如图8所示。微图像源出射的光线经过场镜和准直投影镜头后，边缘视场更多的能量会聚到出瞳处。由于光路可逆原则，在逆向模拟时，经过场镜后的光线近似与光轴平行。类似于像方远心，可以减少余弦四次方定律效应，提高光学效率。

图  8  场镜示意图

T：切线；N：法线

Figure  8.  Schematic diagram of field lens (T is tangent line, and N is normal line)

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式中：θ₃为入射角，θ₃=θ₁+θ₂；θ₂为折射角；n₁为入射介质折射率；n₂为场镜折射率。对应不同y轴位置的Q点的θ₁可以通过图7的实际光线追迹得到。根据式(16)计算非球面弧垂的斜率角θ₂，使用坐标Q_i和斜率tanθ₂获得非球面弧垂的微分方程，其函数曲线如图9所示。在计算弧垂数据时，包含足够数量的径向坐标。最后将弧垂数据拟合到传统光学非球面，有：

式中：c为曲率；k为圆锥常数；r为光轴上方的高度；N为多项式数目；a_i为第i项多项式系数。场镜非球面面型曲线如图10所示。

图  9  场镜曲面函数曲线

Figure  9.  Derivative function curve of field lens surface

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图  10  场镜非球面曲线

Figure  10.  Aspheric curve of field lens

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2.3   准直投影镜头光学设计

将上述设计的非球面参数添加到准直投影镜头中，设置折射率、厚度形成场镜，进行整体微调。该方法的优点是基于计算形成的场镜满足像方远心，场镜只需和准直投影镜头共同微调，即可满足像质要求，相比于其他提高光学效率的方法更为简单和节省成本。场镜的非球面参数列于表2中。

表  2  场镜的非球面面型参数

Table  2.  Aspheric surface parameters of field lens

表面编号	曲率半径/mm	2阶项	4阶项	6阶项	8阶项
11	1.937	−0.194	−0.066	0.025	−4.622E−04

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加场镜的准直投影镜头结构如图11所示，规格和图7一致，但总长为8.94 mm。图12为加场镜后光学系统的MTF，全视场范围内在125 lp/mm时MTF值大于0.5。图13为加场镜后光学系统的全视场点列图，中心视场RMS半径为1.618 μm，边缘视场RMS半径为1.974 μm，均小于微图像源像素大小。系统最大畸变的绝对值小于5%，满足成像质量要求，适合衍射波导式头戴显示系统。

图  11  加场镜后的准直投影镜头

Figure  11.  Structure diagram of collimating projection lens with field lens

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图  12  加场镜后准直投影镜头的MTF曲线

Figure  12.  MTF curves of collimating lens with field lens

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图  13  加场镜后准直投影镜头的全视场点列图

Figure  13.  Spot diagrams of collimating lens with field lens

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3   衍射波导式头戴显示系统仿真

用Lighttools软件将准直投影镜头与波导系统组合起来，对整个系统进行仿真，比较了加场镜前后的扩展瞳孔辐照度。根据前期工作总结经验^[27]，选择周期为392 nm，可通过纳米压印制造闪耀光栅。根据2.1节中的参数和二维扩瞳原理，设计的二维扩瞳版图如图14(a)所示，取三束光线重合区域为耦出光栅区域。若耦出光栅尺寸为16 mm×13 mm，则计算的扩展光栅宽为12.758 6 mm，长为24.208 mm。衍射波导系统布局如图14(b)所示，其中眼部浮雕(eye relief, ERF)为13 mm。

图  14  衍射波导系统图

Figure  14.  Diagram of diffractive waveguide system

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虚拟图像光学效率和照度均匀性^[28]是衡量衍射波导式头戴显示系统质量的关键参数之一，一般透射式波导显示系统环境光学效率高于虚拟图像光学效率。因此虚拟图像的光学效率越高，用户体验越好。直径为2.31 mm的出瞳经波导系统二维扩展后，形成矩形的眼动范围，眼动范围内的光学效率与扩瞳次数和微图像源的发光强度有关。光学效率定义为眼动范围内的光通量与Micro-LED光源光通量的百分比。

两组仿真结果如图15所示，微图像源的总辐照度功率归一化为1 W。从图15（a）可知，未加场镜的眼动范围内总辐照度功率为0.097 003 W，边缘视场辐照度功率为0.046 453 W，总光学效率为9.700 3%，未加场镜的最大辐照度为0.000 992 77 W/mm²，平均辐照度为0.000 239 91 W/mm²。从图15（b）可知，加场镜的眼动范围内总辐照度功率为0.102 31 W，边缘视场辐照度功率为0.053 350 W，总光学效率为10.231%，加场镜的最大辐照度为0.001 030 3 W/mm²，平均辐照度为0.000 283 70 W/mm²。仿真过程中光学效率受到光学系统透过率、图像源光学利用率及光栅波导耦合效率共同影响，由于光栅波导耦合效率根据实际情况设定不高，因此导致总光学效率较低。

图  15  仿真结果图

Figure  15.  Simulation results diagram

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根据仿真结果可知，加场镜相比未加场镜衍射波导式头戴显示系统的总体光学效率提升了5.5%，其中边缘视场的光学效率相对提升15%，边缘视场的辐照度提升明显，照度均匀性相对提高了14%。进一步验证了计算得到的场镜可以使得准直投影镜头在尺寸小的情况下渐晕少、光学效率高、照度更均匀。

考虑到设计中场镜与图像源距离较近，防止场镜由于热效应可能发生变形，可以采用在图像源后加入散热片的设计，并在机械结构中加入风冷系统控制散热。

4   结论

为了解决Micro-LED作为图像源发光角度大，准直投影镜头要求体积小且像质高，渐晕现象会导致视场边缘处光学效率低、照度不均匀的问题，本文设计了一款边缘视场光学效率高、照度相对较高的准直投影镜头。通过在像源前加入单片计算得到的非球面场镜，利用场镜调制发光强度分布，增加镜头的远心度。给出详细理论推导和场镜最佳焦距区间，最后计算场镜的参数，用来提高整体系统的边缘亮度，改善照度均匀性。该镜头具有边缘视场光学效率高，以及在小尺寸耦入光栅情况下可以实现较小尺寸的系统横向结构的优点。设计的准直投影镜头出瞳直径为2.31 mm，对角线视场角为41.2°，焦距为4.39 mm，F^#为1.87，MTF在125 lp/mm处大于0.5。对比分析了有无场镜镜头的特性，使用LightTools软件仿真分析了准直投影镜头与衍射波导系统。仿真结果表明，本文提出的设计方法使边缘视场光学效率提高了15%，照度均匀性提高了14%。该设计为小型AR衍射光栅波导HMD系统提供了一个新的提高光学效率和照度均匀性的方法。