Preliminary study on design and processing of diamond compound refractive lens
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摘要:
复合折射透镜（compound refractive lens, CRL）因具有结构紧凑、焦距可调、准直方便等优点，被用作硬X射线自由电子激光（X-ray free electron laser, XFEL）装置的光束聚焦器件。面向XFEL光束高精度聚焦对高性能CRL的实际需求，从CRL的几何结构设计原理出发，分析了不同材料CRL的性能参数，证明了单晶金刚石材料是适用于XFEL光束聚焦的CRL优选材料。同时，考虑超硬金刚石材料的难加工特性以及低重频钛宝石飞秒激光不能实现大厚度材料高效加工的实际问题，探索了高重频光纤飞秒激光对大厚度单晶金刚石材料进行高效加工的可行性。研究结果表明，高重频飞秒激光精密加工技术是实现金刚石CRL制备的有效手段。
Abstract:Compound refractive lens (CRL) is used as the X-ray beam focusing device of hard X-ray free electron laser (XFEL) because of its compact structure, tunable focal length and convenient collimation. In order to meet the requirements of XFEL beam focusing with high precision, the performance parameters of CRL made of different materials were analyzed based on the geometric structure design principle of CRL, and it was proved that single crystal diamond material was the preferred material for XFEL beam focusing devices. At the same time, considering the difficulty of the machining characteristics of superhard diamond materials, and the practical problem that low repetition rate and low power titanium sapphire femtosecond laser could not realize efficient machining of large thickness materials, the feasibility of efficient machining of large thickness single crystal diamond materials by high repetition rate and high power fiber femtosecond laser was explored. The research results show that the femtosecond laser precision machining technology with high repetition rate is an effective method to fabricate diamond CRL devices.
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引言
随着现代战争形态逐步向轻量化、无人化方向发展，光学系统既要实现宽视场下观察搜索，又要实现窄视场下跟踪瞄准，因此解决视场与视距之间的矛盾，成为光电侦察系统设计的发力点。连续变焦系统采用改变透镜之间的间隔来改变整个镜头的焦距，从而获得不同的视场角与景象范围，在视场切换过程中一直保持图像的连续性与像质的稳定性，因此该类系统非常适用于高速目标的搜索和跟踪 [1-2]。现有的连续变焦系统大多采用电机驱动凸轮套筒转动的结构，本方案采用了直流电机驱动丝杠导轨方式，有效降低了加工难度，提高了系统的光轴一致性，对远距离瞄准打击目标非常有利，具有良好的瞄准精度。
分数阶控制理论是近年来国内外的一个热门研究领域。分数阶PID(fractional order proportion integration differentiation，FOPID)控制器是传统PID控制器的延伸，由于其积分项与微分项的阶次可在（0,2）之间任意取值，因此在延续传统PID优点的基础上，拥有更高的鲁棒性和更强的抗干扰能力[3]。研究表明，分数阶PID控制器在伺服控制领域的应用具有不错的效果。LUO Y等人从频域设计角度提出了一种分数阶PID控制器设计方法[4]，用于机械臂控制，相比利用同样方法设计的传统PID控制器，系统的性能有所改善，但该方法受限于有限的约束条件，因此仅可以设计FOPI或者FOPD控制器。SAXENA S等人设计了一种IMC-FOPID控制器用于直流电机控制[5] ，该控制器的2个整定参数，可根据期望的增益交叉频率和相位裕度获得，该方法在仿真和硬件实验中都得到了很好的控制效果。张雅琼等人将分数阶PID应用于转台控制系统[6]，与传统PID对比，提高了系统的鲁棒性和抗干扰性。
连续变焦光学系统清晰成像的关键是，控制光学镜组按照拟合的变焦曲线准确、快速地到达指定位置。本文从提高镜组的控制精度、鲁棒性及抗干扰性角度出发，介绍连续变焦系统的原理和结构，进行变焦控制系统的建模和仿真，最后提出一种分数阶PID控制策略，完成了连续变焦控制系统的设计。
1 连续变焦系统结构及原理
1.1 连续变焦系统结构
变焦系统的机械结构需准确地保证各个元件的空间位置关系，通过机械结构设计使变焦镜组和补偿镜组能够在与探测器光轴平行的方向连续平滑运动。传统连续变焦系统大多采用图1(a)所示的电机驱动凸轮套筒转动的方式，变焦镜组和补偿镜组由滑槽中的导钉带动，沿着套筒轴线方向运动，但该方式存在加工困难、套筒易变形等问题，使得变倍组和补偿组发生径向跳动，造成全程光轴一致性和稳定性降低[7]。
本方案采用图1(b)所示的丝杠导轨形式，由2个直流电机带动变焦镜组和补偿镜组按照各自的光学曲线运动。直流电机加码盘的组合可以更好地适应变焦曲线的曲率，使得系统在连续变焦过程中图像始终保持清晰，具有实时可控性和高精度的定位性。此外，滚珠丝杠运动避免了滑动摩擦，具有较高的轴向刚度，保证了光轴的平行性和像质的连续性。
1.2 连续变焦系统结构
连续变焦系统采用机械补偿光学变焦方式，原理如图2所示。系统在连续变焦过程中，需要控制变倍组沿着光轴方向按照图2中虚线运动，运动过程中光学系统焦距连续变化，但同时产生像移问题。为补偿变倍过程产生的像移，需同步控制补偿镜组沿着光轴按照其相应虚线运动，从而保证光学系统成像清晰稳定[8]。
四组元变焦系统由前固定组、变倍组、补偿组和后固定组组成。四组镜头具体作用如下：
1） 前固组，为系统提供固定的像；
2） 变倍组，主要起到变倍作用；
3） 补偿组，在变倍过程中补偿像面位移，可实现大变倍比，保证变焦全程像面清晰、稳定；
4） 后固定组，完成最终成像,补偿其余镜组的像差。
根据光学设计提供的参数，利用光学设计软件计算出变焦、补偿和焦距的位置关系。变焦距运动曲线为多个非等间距离散点，如图3（a）所示。为保证变焦过程中成像清晰和电机运动的平稳性， 15倍变焦系统分为442个小视场，焦距与视场角度的对应关系如图3(b)所示。
2 分数阶PID控制器设计理论
2.1 分数阶PID
分数阶微积分作为数学研究中的重要分支，建立至今已有300多年的历史，限于其计算的复杂性，早期主要偏重理论研究。近年来很多领域都已经开始关注并应用分数阶微积分理论，如在自动控制领域出现的分数阶PID控制器[4]。分数阶PID控制器是传统PID控制器的一般表达形式,其微分方程如下：
$$ u\left(t\right)={k}_{\mathrm{p}}e\left(t\right)+{k}_{\mathrm{i}}{D}_{t}^{-\lambda }e\left(t\right)+{k}_{\mathrm{d}}{D}_{t}^{\mu }e\left(t\right) $$ (1) 式中：$ {k}_{\mathrm{p}} $、$ {k}_{\mathrm{i}} $、$ {k}_{\mathrm{d}} $分别为控制器的比例、积分与微分作用系数；$ {D}_{t}^{-\lambda } $和$ {D}_{t}^{\mu } $为分数阶微分算子。
分数阶PID微分方程经Laplace变换后的传递函数为
$$ {C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(s\right) = {k}_{\mathrm{p}}+{k}_{\mathrm{i}}\frac{1}{{s}^{\lambda }}+{k}_{\mathrm{d}}{s}^{\mu } $$ (2) 式中：$ \lambda $和$ \mu $为积分微分项的阶次；取值范围（0,2）；s为复变量。分数阶PID控制器与传统PID控制器相比多了2个参数 $ \lambda $和$ \mu $，这种扩展提高了控制器的灵活性，但增加了控制器整定的难度。
2.2 内模控制策略
内模控制（internal model control, IMC）是一种利用过程数学模型进行控制器设计的方法，一般用于PID控制器设计，具有简单、有效的特点，其基本结构如图4所示。图4中$ P(s) $为实际被控对象，$ M(s) $为过程数学模型，$ Q(s) $为IMC控制器，$ R(s) $为输入，$ Y(s) $为输出，$ D(s) $为扰动输入。$ Q(s) $和$ M(s) $合成控制器$ {C}_{\mathrm{I}\mathrm{M}\mathrm{C}}\left(s\right) $，如图5所示。
合成控制器$ {C}_{\mathrm{I}\mathrm{M}\mathrm{C}}\left(s\right) $原理可表示为
$$ {C}_{\mathrm{I}\mathrm{M}\mathrm{C}}\left(s\right)=\frac{Q\left(s\right)}{1-Q\left(s\right)M\left(s\right)} $$ (3) 其中，
$$ M（s）={M}_-\left(s\right){M}_+\left(s\right) $$ (4) $$ Q\left(s\right)={M}_-^{-1}\left(s\right)f\left(s\right) $$ (5) 式中：$ {M}_{-}\left(s\right) $为数学模型$ M(s) $的最小相位部分；$ {M}_{+}\left(s\right) $为数学模型非最小相位部分；$ f\left(s\right) $为低通滤波器，$ f\left(s\right) $=$ \dfrac{1}{(1+\eta {s}^{m})} $，滤波器的作用是保证$ Q\left(s\right) $为有理函数。等效反馈控制结构如图5所示。
2.3 控制器整定规则
为了克服控制器整定的盲目性，采用基于频域约束方程的控制器参数整定方法，获得满足约束条件的控制器。根据文献[4]可知，回路中被控对象$ P\left(s\right) $和控制器$ C\left(s\right) $应满足以下关系：
1） 穿越频率约束，可表示为
$$ {\left|L\left(\mathrm{j}{\omega }_{c}\right)\right|}_{dB}={\left|C\left(\mathrm{j}{\omega }_{c}\right)P\left(\mathrm{j}{\omega }_{c}\right)\right|}_{dB}=0 $$ (6) 2） 相位裕度约束，可表示为
$$ \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[L\right(\mathrm{j}{\omega }_{c}\left)\right]=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[C\right(\mathrm{j}{\omega }_{c}\left)P\right(\mathrm{j}{\omega }_{c}\left)\right]=-\pi +{\phi }_{m} $$ (7) 3） 增益变化的鲁棒约束，可表示为
$$ {\left|\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\right(L\left(\mathrm{j}\mathrm{\omega }\right)\left)\right)}{\mathrm{d}\omega }\right|}_{\omega ={\omega }_{\mathrm{c}}}=0 $$ (8) 环路增益鲁棒性约束可保证系统相位曲线平滑穿越$ {\omega }_{c} $，这表明系统对环路增益变化的鲁棒性更高。利用以上三条约束，给定穿越频率$ {\omega }_{\mathrm{c}} $和相位裕度$ {\varphi }_{m} $，可对控制器进行设计。
3 连续变焦控制系统控制器设计
3.1 控制系统组成与建模
连续变焦控制系统由伺服控制主板、变焦电机、补偿电机、电机驱动板、光电编码器、相机、光端机和主控单元等模块构成，原理图如图6所示。核心控制电路选用DSP芯片 TMS320F28335，该芯片为浮点型数字处理芯片，主频150 M，可完成高实时性要求的运算[9]。控制器完成控制计算，控制变倍组和补偿组电机沿着导轨作视场变换运动。光电编码器作为控制系统的反馈单元，实时测量镜组的位移量，保证了闭环控制系统的控制精度。
为了更好地分析变焦控制系统的性能，需建立控制系统数学模型。变倍组和补偿组伺服控制系统相互独立，二者的伺服控制框图如图7所示。
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图 7 变焦（补偿）伺服控制系统框图Figure 7. Block diagram of zoom (compensation) servo control system变倍组与补偿组的控制电机均采用精度高、响应快的直流电机，电机输出转矩/输入电压的传递函数为
$$ \frac{{M}_{m}\left(s\right)}{{U}_{a}\left(s\right)}=\frac{Js/{C}_{e}}{{T}_{m}{T}_{e}{s}^{2}+{T}_{m}s+1}{\xrightarrow{{{T}_{m}\gg {T}_{e}}}}\frac{Js/{C}_{e}}{{(T}_{m}s+1\left)\right({T}_{e}s+1)} $$ (9) 式中：$ {C}_{e} $为电机反电势系数；$ J $为电机转动惯量。直流电机2个关键参数是机械时间常数$ {T}_{m} $和电气时间常数$ {T}_{e} $，工程上计算方法为
$$ {T}_{m}=\frac{J{R}_{h}}{{C}_{m}{C}_{e}} $$ (10) $$ {T}_{e}=\frac{{L}_{h}}{{R}_{h}} $$ (11) 式中：$ {C}_{m} $为力矩系数；$ {L}_{h} $和$ {R}_{h} $分别为电机总电感和电机总电阻。
功率放大器的作用是将控制信号进行放大，可以简化为一个比例环节，即：
$$ {K=K}_{pwm} $$ (12) 光电编码器测量镜组的位移量，为控制器提供反馈量，在建模中可以看作比例为1的负反馈。建立的变焦（补偿）伺服控制系统的数学模型如图8所示。图8中$ C\left(s\right) $为控制器，$ P\left(s\right) $为被控对象，$ d\left(t\right) $为扰动输入，$ r\left(t\right) $和$ \theta $分别为控制系统的输入位置和输出位置。
3.2 基于内模控制的分数阶PID控制器设计
为简化分数阶PID控制器的整定问题，提出一种基于内模控制策略的分数阶PID整定方法。由图8可知，被控对象$ P\left(s\right) $的传递函数表达式为
$$ P(s)=\frac{{K}_{pwm}/{C}_{e}}{{s(T}_{m}s+1\left)\right({T}_{e}s+1)} $$ (13) 分数阶PID控制器整定步骤如下：
1） 分解过程数学模型
根据2.2节内模控制策略可得过程数学模型$ M(s)=P\left(s\right) $，分解$ M(s) $，即
$$ {M}_-\left(s\right)=\frac{{K}_{pwm}/{C}_{e}}{{s(T}_{m}s+1\left)\right({T}_{e}s+1)} \text{，} {M}_+\left(s\right)=1 $$ (14) 2） 获得IMC控制器
取$f\left(s\right)=\dfrac{1}{(1+\eta {s}^{2})}$和${M}_{-}\left(s\right)=\dfrac{{K}_{pwm}/{C}_{e}}{{s(T}_{m}s+1\left)\right({T}_{e}s+1)}$代入公式(5)中，可得IMC控制器，即
$$ Q\left(s\right)=\frac{{s(T}_{m}s+1\left)\right({T}_{e}s+1)}{{K}_{pwm}/{C}_{e}}\times \frac{1}{(1+\eta {s}^{2})} $$ (15) 式中$ \eta $为滤波器的时间参数，取值范围为（0,2）。
3） 构造分数阶PID控制器
将式(13)与式(15)同时代入式(3)中，可获得内模PID控制器，即
$$ {C}_{\mathrm{I}\mathrm{M}\mathrm{C}}\left(s\right)=\frac{{C}_{e}({T}_{e}+{T}_{m})}{{K}_{pwm}\eta } + \left(\frac{{C}_{e}}{{K}_{pwm}\eta }\right)\frac{1}{s}+\frac{{C}_{e}{T}_{e}{T}_{m}}{{K}_{pwm}\eta }s $$ (16) 显而易见，式(16)为传统PID控制器，且仅有一个整定参数$ \eta $。对照式(2)，增加积分项阶次$ \lambda $和微分项阶次$ \mu $，设计分数阶PID格式的控制器$ {C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(s\right) $为
$$ {C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(s\right)=\frac{{C}_{e}({T}_{e}+{T}_{m})}{{K}_{pwm}\eta }+\left(\frac{{C}_{e}}{{K}_{pwm}\eta }\right)\frac{1}{{s}^{\lambda }}+\frac{{C}_{e}{T}_{e}{T}_{m}}{{K}_{pwm}\eta }{s}^{\mu } $$ (17) 此时，分数阶PID控制器$ {C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(s\right) $含有3个待整定参数，即$ \eta ，\lambda ，\mu $。
4） 控制器整定
取式(17)对应的控制器$ {C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(s\right) $作为图8变焦（补偿）伺服控制系统控制器，则系统的开环传递函数为
$$ L\left(s\right)={C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(s\right)P\left(s\right) $$ (18) 根据文献[10]对带有分数阶次的虚数j可用下式处理：
$$ {\mathrm{j}}^{\pm \mu }=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mu \mathrm{\pi }}{2}\pm \mathrm{j}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mu \mathrm{\pi }}{2} $$ (19) 令$ s=\mathrm{j}\omega $，则分数阶PID控制器的频率响应表达式为
$$ {C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(\mathrm{j}{w}\right)=\frac{{C}_{e}}{\eta {K}_{pwm}}\left[\left(\left({T}_{e}+{T}_{m}\right)+{\omega }^{-\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\lambda \mathrm{\pi }}{2}+{\omega }^{\mu }{T}_{e}{T}_{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{\mu \mathrm{\pi }}{2}\right)+\mathrm{j}\left({\omega }^{\mu }{T}_{e}{T}_{m}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mu \mathrm{\pi }}{2}-{\omega }^{-\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\lambda \mathrm{\pi }}{2}\right)\right] $$ (20) 令$ A=\left({T}_{e}+{T}_{m}\right)+{\omega }^{-\lambda }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\dfrac{\lambda \mathrm{\pi }}{2}+{\omega }^{\mu }{T}_{e}{T}_{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\dfrac{\mu \mathrm{\pi }}{2} $，$ B={\omega }^{\mu }{T}_{e}{T}_{m}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\mu \pi }{2}-{\omega }^{-\lambda }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\dfrac{\lambda \mathrm{\pi }}{2} $,对式(20)增加2.3节中的3条约束，可得到如下方程组：
$$ \left\{\begin{array}{l}\left|{L}_{}\left(\mathrm{j}{\omega }_{c}\right)\right|=\left|{C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(\mathrm{j}{\omega }_{c}\right)\right|\times \left|\mathrm{P}\left(\mathrm{j}{\omega }_{c}\right)\right|=1\\ \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[{L}_{}\left(\mathrm{j}{\omega }_{c}\right)\right]=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[{C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}(\mathrm{j}{\omega }_{c})\right]+\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[P(\mathrm{j}{\omega }_{c})\right]=-\mathrm{\pi }+{\phi }_{m}\\ {\left|\dfrac{\mathrm{d}\left(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\right(\mathrm{L}\left(\mathrm{j}\mathrm{\omega }\right)\left)\right)}{\mathrm{d}\mathrm{\omega }}\right|}_{\omega ={\omega }_{c}}={\left|\left|\dfrac{\mathrm{d}\left(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\right({C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(\mathrm{j}\mathrm{\omega }\right)\left)\right)}{\mathrm{d}\mathrm{\omega }}\right|+\left|\dfrac{\mathrm{d}\left(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\right(\mathrm{P}\left(\mathrm{j}\mathrm{\omega }\right)\left)\right)}{\mathrm{d}\mathrm{\omega }}\right|\right|}_{\omega ={\omega }_{c}}=0\end{array}\right. $$ (21) 给定穿越频率$ {\omega }_{c} $，可求得唯一被控对象幅值、相角以及相角的导数值，即：
$$ \left\{\begin{array}{l}\left|P\left(\mathrm{j}{\omega }_{c}\right)\right|={C}_{1}\\ \mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\left[P(\mathrm{j}{\omega }_{c})\right]={C}_{2}\\ {\left|\left|\dfrac{\mathrm{d}\left(\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}\right(P\left(\mathrm{j}\mathrm{\omega }\right)\left)\right)}{\mathrm{d}\mathrm{\omega }}\right|\right|}_{\omega ={\omega }_{c}}={C}_{3}\end{array}\right. $$ (22) 式中：$ {C}_{1}，{C}_{2}，{C}_{3} $分别为与$ {\omega }_{c} $有关的常数。
化简方程组(22)，可得：
$$ \left\{\begin{array}{l}\dfrac{B}{A}+\mathrm{tan}\left({C}_{2}-{\phi }_{\mathrm{m}}\right)=0\\ \dfrac{1}{{A}^{2}+{B}^{2}}\left[A\dfrac{\mathrm{d}\left({B}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{\omega }}-{B}\dfrac{\mathrm{d}\left({A}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{\omega }}\right]+{C}_{3}=0\\ \eta ={C}_{e}{C}_{1}\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}/{K}_{pwm}\end{array}\right. $$ (23) 给定$ \omega ={\omega }_{\mathrm{c}} $和$ {\phi }_{\mathrm{m}} $，由方程组(23)可得到$ \eta 、\lambda 、 \mu $的值，完成分数阶PID控制器的整定。非线性方程组(23)可利用Matlab中fsolve函数求解。
利用前四步虽然大大简化了分数阶PID控制器参数整定，但是$ {\omega }_{c} $和${\phi }_{m}$的选取依然是一个比较困难的环节。采用基于误差积分准则最优控制器参数选取法，解决$ {\omega }_{c} $和${\phi }_{m}$的选取问题。常用的误差积分准则有平方误差积分准则(ISE)、时间乘平方误差积分准则(ITSE)、绝对误差积分准则(IAE)和时间乘绝对误差积分准则(ITAE)。各准则的计算公式如下：
$$ {\rm{ISE}}= {\int }_{0}^{\infty }{\left[e\left(t\right)\right]}^{2}\mathrm{d}t $$ (24) $$ {\rm{ITSE}}= {\int }_{0}^{\infty }t{\left[e\left(t\right)\right]}^{2}\mathrm{d}t $$ (25) $$ {\rm{IAE}}= {\int }_{0}^{\infty }\left|e\left(t\right)\right|\mathrm{d}t $$ (26) $$ {\rm{ITAE}}= {\int }_{0}^{\mathrm{\infty }}t\left|e\left(t\right)\right|\mathrm{d}t $$ (27) 式中：$ e\left(t\right) $表示实际输出与期望输出的偏差；$ t $ 为时间。
选取的评估函数为
$$ J\left(\theta \right) = {\int }_{0}^{T}{a}_{1}\left|e\left(t\right)\right|+{a}_{2}t\left|e\left(t\right)\right|+{a}_{3}{\left[e\left(t\right)\right]}^{2}+{a}_{4}t{\left[e\left(t\right)\right]}^{2} $$ (28) 算法流程如图9所示。根据上述误差性能指标设计分数阶PID控制器时，设定不同权重$ {a}_{1}\sim {a}_{4} $，最终取得的闭环控制效果也有所差别。其中，ISE侧重控制过渡过程中出现的大偏差；ITSE在抑制大偏差同时减小调节时间；IAE侧重抑制小偏差；ITAE用来缩短调节时间[11-12]。对于设计的连续变焦控制系统，权重系数选择为$ {a}_{1}=1,{a}_{2}=2,{a}_{3}=0.1, {a}_{4}=0.1 $。穿越频率和相位裕度的最大值、最小值分别选取为$ {\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=350,{\omega }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=700,{\mathrm{\varnothing }}_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}=50,{\varnothing }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=90 $。
3.3 分数阶PID控制器的实现
3.3.1 滤波器近似实现
由于分数阶算子具有无限维，为了实现分数阶PID控制器，需使用近似算法对其微分算子进行逼近[13-15]。改进Oustaloup滤波器算法(modified oustaloup filter algorithm，MOFA) [16]经常用于分数阶PID控制器的近似逼近。通过选取适当的频段$ ({\omega }_{l},{\omega }_{h}) $和合适的近似阶次$ 2N+1 $，可获得分数阶PID控制器的高阶表达式。
改进Oustaloup滤波器传递函数为
$$ {s}^{\alpha }\approx K(\frac{d{s}^{2}+b{\omega }_{{h}}s}{d(1-\alpha ){s}^{2}+b{\omega }_{h}s+d\alpha })\prod\nolimits_{k=-N}^{\mathrm{N}}\frac{s+{\omega }_{k}'}{s+{\omega }_{k}} $$ (29) 其增益和零极点为
$$ \left\{\begin{array}{l}{\omega }_{k}'={\left(\dfrac{{d\omega }_{\mathrm{l}}}{b}\right)}^{\tfrac{\alpha -2k}{2N+1}}\\ {\omega }_{k}={\left(\dfrac{b{\omega }_{h}}{d}\right)}^{\tfrac{\alpha +2k}{2N+1}}\\ K={\left(\dfrac{b{\omega }_{h}}{d}\right)}^{\alpha }\end{array}\right. $$ (30) 3.3.2 数字实现
由于数字精度问题，滤波器算法近似不能直接用于数字控制，$ {s}^{\pm \alpha } $可利用一些成熟的离散算法完成数字实现[17-18]。分数阶微分算子近似中最简单直接的方法是幂级数展开法，首先选取Tustin算子对$ s $进行近似表示，得到一个FIR形式的数字滤波器近似脉冲传递函数[19]；然后，根据短时记忆原理，利用式(30)关系式得到分数阶微分器的近似离散脉冲传递函数：
$$ {s}^{\pm \alpha } = {\left(\frac{2(1-{{\textit{z}}}^{-1})}{T(1+{{\textit{z}}}^{-1})}\right)}^{\pm \alpha } = {\left(\frac{2}{T}\right)}^{\pm \alpha }\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{E}{\left\{{\left(\frac{(1-{{\textit{z}}}^{-1})}{(1+{{\textit{z}}}^{-1})}\right)}^{\pm \alpha }\right\}}_{n} $$ (31) 4 性能仿真分析
连续变焦控制系统参数指标如表1所示。利用3.2节提出的分数阶PID控制器设计方法对连续变焦控制系统进行控制器设计，其中穿越频率$ {\omega }_{c}=648\;\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s} $，相位裕度$ {\phi }_{m}={84}^{\circ } $ 。分数阶PID控制器传递函数为
$$ {C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(s\right)=5.221\;3+659.721\;5\frac{1}{{s}^{1.591\;1}}+0.001\;1{s}^{1.351\;7} $$ (32) 表 1 连续变焦控制系统参数Table 1. Parameters of continuous zoom control参数名称 指标 $ {K}_{\mathrm{p}\mathrm{w}\mathrm{m}} $ 27 $ {R}_{h}/\mathrm{\Omega } $ 8 $ {C}_{e}/\left(\mathrm{V}{\cdot (\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\cdot {\mathrm{s}}^{-1})}^{-1}\right) $ 0.051 $ {C}_{m}/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{c}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{A}}^{-1}) $ 510 $ {L}_{h}/\mathrm{m}\mathrm{H} $ 1.8 $ {J}_{}/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{c}\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{2})$ 0.025 为了验证设计的分数阶PID控制器的有效性，利用同样的方法设计传统整数阶PID控制器，并使用相同的评估函数，穿越频率和相位裕度分别选取${\omega }_{c}=400\;\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}$，${\phi }_{m}={80}^{ \circ }$，设计的整数阶PID控制器传递函数为
$$ {C}_{\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left(s\right)=0.953\;5 + 31.890\;6\frac{1}{s}+0.005\;9s $$ (33) 4.1 系统阶跃响应仿真分析
为了验证设计的分数阶PID控制器的有效性，在Matlab仿真环境建立了连续变焦控制系统模型，利用3.3.1节提到的改进Oustaloup算法对控制器的控制性能进行仿真，并与传统PID进行对比，系统的动态响应如图10所示，动态性能指标如表2所示。通过比较二者的动态性能指标，可以看出分数阶PID上升时间和调节时间均小于传统PID。开环系统Bode图如图11所示。由图11可以看出，分数阶PID控制器对应的Bode曲线具有更高的带宽，虽然超调量大于PID控制系统，但在可接受范围内，因此综合考虑，分数阶PID控制系统具有更优良的动态性能。
表 2 控制系统动态性能指标Table 2. Dynamic performance parameters of control system控制器 上升时间
$ {t}_{r}/{\rm{s}} $调节时间
$ {t}_{s}/{\rm{s}}(\varDelta =2{\text{%}}) $超调量
$ \sigma/ {\text{%}} $$ \mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D} $ $ 0.003\;2 $ $ 0.016\;8 $ $16.77$ PID $ 0.006\;5 $ $ 0.044\;7 $ $7.25$ 4.2 系统阶跃响应仿真分析
良好的抗干扰性能可保证连续变焦系统清晰成像。为验证本文设计的分数阶PID的抗干扰能力，令输入$ r\left(t\right)=0 $，在电机输出力矩处即电机转子上加正弦干扰力矩$ d\left(t\right)={10}^{}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(35t\right) $，与传统PID进行对比，结果如图12所示。从图12可以看出，本文设计的分数阶PID控制系统响应幅值更小。
4.3 鲁棒性分析
引入3.2节误差积分准则量化分析系统鲁棒性。误差积分准则作为评价指标衡量系统鲁棒性好坏时，体现为指标值越小，鲁棒性越好。参数摄动系统单位阶跃响应曲线如图13所示，系统参数摄动时不同控制器控制下系统误差积分值如表3所示。从表3中可以看出，分数阶PID误差积分指标各个值均比PID控制系统小，表明分数阶PID对相关参数变化并不敏感 ，被控对象参数在一定范围变化，系统仍具有较好的控制性能。
表 3 系统鲁棒性评价指标Table 3. System robustness evaluation indices摄动值/% PID FOPID 参数摄动0 ISE 14.329 4 7.340 8 IAE 43.164 7 25.208 1 ITAE 0.642 6 0.302 6 时间常数+20 ISE 13.428 9 7.080 1 增益+30 IAE 38.815 8 23.666 5 ITAE 0.493 8 0.248 2 时间常数−20 ISE 23.253 2 12.975 7 增益−30 IAE 65.307 3 40.768 5 ITAE 0.982 5 0.507 3 4.4 分数阶PID控制器的离散与仿真
为了更好地对连续变焦控制系统效果进行仿真，搭建了如图14所示Simulink模型。其中连续变焦控制系统采用连续系统建模，控制器采用离散系统建模，系统采样频率设置为10 kHz。针对DSP芯片(TMS320F28335)有限的硬件资源，同时考虑算法的控制精度，选取数字分数阶PID控制器系数的小数点后三位。利用幂级数展开法对式（31）所示的分数阶PID进行离散化处理，对式（32）所示的传统PID则采取常用的反向欧拉法进行离散，离散后控制器的脉冲传递函数为
分数阶PID控制器：
$$ {C}_{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left({\textit{z}}\right)=\frac{\begin{array}{c}400.400-1\;524{{\textit{z}}}^{-1}+2\;510.100{{\textit{z}}}^{-2} -2\;336.200{{\textit{z}}}^{-3}+1\;301.900{{\textit{z}}}^{-4}-415.400{{\textit{z}}}^{-5}+63.200{{\textit{z}}}^{-6}\end{array}}{1-2.103{{\textit{z}}}^{-1}+1.712{{\textit{z}}}^{-2}-0.609{{\textit{z}}}^{-3}} $$ (34) 传统PID控制器：
$$ {C}_{\mathrm{P}\mathrm{I}\mathrm{D}}\left({\textit{z}}\right)=0.953\;5+0.003\;2\frac{1}{1-{{\textit{z}}}^{-1}}+59(1-{{\textit{z}}}^{-1}) $$ (35) 将442个给定的视场位置作为输入，控制变焦电机与补偿电机在26 ms内快速到达指定视场位置，图15和图16分别为变倍组与补偿组控制系统的响应图。根据图15和图16中的局部放大图可以发现，分数阶PID对应的响应曲线，稳态误差由0.1 mm提升至0 mm，具有响应平稳、无超调、静态误差小等特点，可保证连续变焦控制系统在每个视场获得清晰的像质。
5 硬件试验结果
为验证分数阶PID控制器的实际应用效果，搭建了图17所示实验平台。将4.4节所设计的数字分数阶PID应用于连续变焦控制系统中，通过上位机控制连续变焦系统进行15倍连续变焦，利用视频工装采集的变焦视场图如图18所示。从图18可以看出，整个连续变焦过程中图像稳定清晰。
6 结论
本文介绍了一种连续变焦设备的组成及原理，对其控制系统进行了建模与分析。为了提高控制系统的控制效果，提出一种基于内模控制策略的分数阶PID控制器设计方法。在连续变焦控制系统平台上，对该控制器的控制效果与传统PID控制器做了仿真对比，结果表明，与传统PID控制器相比,分数阶PID控制器在控制精度、抗干扰性及鲁棒性方面具备明显优势。最后完成了控制器的数字实现，并应用于实际的连续变焦系统。本文提出的分数阶PID控制器算法设计简单、计算量小，可移植在一些类似的伺服控制平台上，具有很好的应用前景。
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图 1 X射线聚焦透镜示意图
Figure 1. Schematic diagram of optimal surface shape of X-ray focusing lens
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图 2 相同曲率半径下椭圆和抛物线口径大小对比示意图
Figure 2. Schematic diagram of comparison between elliptical and parabolic aperture size under same curvature radius
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图 4 不同材料CRL的焦距随光子能量的变化曲线
Figure 4. Variation curves of focal length of CRL of different materials with photon energy
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图 5 飞秒激光精密加工技术平台示意图
Figure 5. Schematic diagram of femtosecond laser precision machining technology platform
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图 6 飞秒激光精密加工控制软件界面
Figure 6. Interface of femtosecond laser precision machining control software
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图 7 抛物柱孔的加工路径示意图
Figure 7. Schematic diagram of machining path for parabolic column holes
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图 9 高重频飞秒激光加工的抛物柱孔型金刚石CRL形貌图
Figure 9. Morphology of parabolic column hole diamond CRL processed by high repetition rate femtosecond laser
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图 10 高重频飞秒激光加工的CRL横截面形貌及拉曼光谱测试结果
Figure 10. Cross section morphology of CRL processed by high repetition rate femtosecond laser and Raman spectrum test results
表 1 抛物柱孔型金刚石CRL的几何特征参数
Table 1 Geometric characteristic parameters of parabolic column hole-type diamond CRL
参数名称 计算结果 开口直径D/μm 500 顶点间隔d/μm 50 透镜单元长度l/μm 900 顶点曲率半径R/μm 73.5 透镜单元数N 9 焦距f/m 0.807 
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