引言

超短脉冲目前已广泛应用于材料加工^[1-3]、光学频率梳^[4-6]、传感器^[7-8]、光谱学^[9-10]和其他领域^[11-12]。随着超快光学领域的快速发展，被动锁模光纤激光器因其结构紧凑、脉冲稳定和成本低而得到广泛研究^[13-15]。

先前的理论和实验结果表明，高阶色散是影响激光器输出脉冲的重要因素。三阶色散(third-order dispersion，TOD)会导致脉冲展宽或压缩、脉冲失真、脉冲混沌等现象。三阶色散可以增加锁模脉冲的持续时间^[16]，其能够压缩脉冲是因为相速度和群速度匹配的色散波与锁模脉冲的共振作用^[17]。由于三阶色散的作用，脉冲不对称并且中心波长发生偏移^[18]。同时，研究人员也发现三阶色散可以抑制脉冲不稳定性，它可以改变主脉冲与群速度和相速度匹配色散波之间的相互作用^[19]。在近零色散点附近，通过增大三阶色散的参数值，发现了脉冲混沌状态^[20]。一些有关四阶色散(fourth-order dispersion，FOD)的研究也大量展开。研究人员发现四阶色散和自相位调制作用可以产生孤子，同时四阶色散可以导致脉冲展宽^[21]。RUNGE A F G等人发现纯四次孤子脉冲，脉冲的能量大幅度提升^[22]。

本文在被动锁模掺镱光纤激光器中对高阶色散参数进行了理论和仿真研究。首先，介绍了被动锁模光纤激光器的模型和相应的方程。其次，分析不同三阶色散值下孤子特性，研究三阶色散对孤子特性的影响。时域方面，三阶色散造成脉冲轮廓不对称及时域偏移等现象；光谱方面，三阶色散导致边带位置及强度发生变化。最后，研究了四阶色散对被动锁模光纤激光器输出脉冲特性的影响。通过分析脉冲时域演化图及光谱图，发现脉冲宽度随四阶色散发生改变，造成脉宽展宽，也对光谱边带产生影响。纯四次孤子具有较高的能量，而本文关于高阶色散的研究对未来研究纯四次孤子有一定意义。

1   数值仿真模型

被动锁模掺镱激光器的腔设计如图1所示。掺镱光纤(Yb-doped gain fiber，YDF)由泵浦二极管泵浦，在可饱和吸收体(saturable absorber，SA)之后，使用耦合器输出一部分脉冲。另一部分光脉冲继续传输，通过色散补偿光纤(dispersion compensation fiber，DCF)、单模光纤(single-mode fiber，SMF)，再进入光隔离器，从而形成闭合环路。

图  1  被动锁模掺镱光纤激光器示意图

Figure  1.  Schematic of passively mode-locked ytterbium-doped fiber laser

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被动锁模掺镱光纤激光器可以由非线性薛定谔方程NLSE建模，如下所示：

式中：$A\left( {{\textit{z}},t} \right)$是NLSE描述的脉冲时间复包络；$\gamma $是非线性系数；${\beta _2}$是群速度色散；${\beta _3}$是三阶色散参数；$g$是掺杂光纤的增益系数，可以用抛物线形增益谱$g\left( w \right)$表示：

式中：${g_0}$是小信号增益；${\varOmega _g}$是增益带宽；${E_{{\rm{sat}}}}$是增益饱和能量；${E_{{\rm{pulse}}}} = \int\limits_{{{ - {T_{\rm R}}} / 2}}^{{{{T_{\rm R}}} / 2}} {{{\left| {A\left( {{\textit{z}},T} \right)} \right|}^2}{\rm{d}}T}$阐述了脉冲能量。${T_{\rm R}}$是仿真时域窗口，使用的可饱和吸收体模型如下：

式中：${R_{{\rm{sat}}}}$是饱和反射系数；${R_{{\text{unsat}}}}$是非饱和反射系数；$P\left( \tau \right)$是光脉冲时域中每点对应的瞬时光功率；${P_{{\rm{sat}}}}$是可饱和吸收体的饱和功率。该模型采用分布傅里叶算法求解。下面的数值用于本次仿真：${g_0}$为8 m⁻¹，$\gamma $为0.5 W⁻¹km⁻¹，${\varOmega _g}$为15 Thz，${E_{{\rm{sat}}}}$为20 pJ；${R_{{\rm{unsat}}}}$为0.6，${R_{{\rm{sat}}}}$为0.3，${P_{{\rm{sat}}}}$为2.6625 W；耦合器分光比为20∶80；掺镱光纤长度为0.25 m，${\beta _2}$为25 ps²/km；色散补偿光纤长度为3.5 m，${\beta _2}$为−25 ps²/km；单模光纤长度为6 m，${\beta _2}$为25 ps²/km。仿真中心波长为1 030 nm，这与掺镱光纤的实际波长一致。

2   仿真分析与讨论

2.1   三阶色散对孤子特性影响的数值仿真

当腔内群速度色散接近零，三阶色散是一个重要因素。为了研究三阶色散对输出脉冲的影响，保持其他参数不变，线性减小三阶色散从0 到−15 ps³/km，间隔为−0.2 ps³/km。通过线性降低三阶色散数值，观察到脉冲的时域轮廓变得不对称，形状出现畸变。当三阶色散数值降到−6 ps³/km时，脉冲出现不对称的震荡拖尾结构。这是因为忽略非线性效应，只考虑色散效应，可以解NLSE方程：${\rm{i}}\dfrac{{\partial U}}{{\partial Z}} = \dfrac{{{\beta _2}}}{2}\dfrac{{\partial {U^2}}}{{\partial {T^2}}}{\text{ + }}\dfrac{{\rm{i}}}{6}{\beta _3}\dfrac{{\partial U}}{{\partial {T^3}}}$，并得到：$U\left( {{\textit{z}},T} \right) = \dfrac{1}{{2\pi }} \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {U\left( {0,w} \right)} \exp \left( {\dfrac{{\rm{i}}}{2}{\beta _2}{w^2}{\textit{z}} + \dfrac{{\rm{i}}}{6}{\beta _3}{w^3}{\textit{z}} - {\rm{i}}wT} \right){\rm{d}}w$，所以只考虑β₂这一参数，脉冲时域轮廓不变。当考虑到β₃时，脉冲时域轮廓发生畸变，并在脉冲前沿或者后沿产生不对称震荡结构。脉冲的时域轮廓如图2所示。

图  2  不同三阶色散下，脉冲时域轮廓

Figure  2.  Pulse temporal profile under different third-order dispersion

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此外，当三阶色散为正时，震荡发生在脉冲的后沿；当三阶色散为负时，震荡发生在脉冲的前沿，如图3所示。数值仿真结果表明，当三阶色散从−6 ps³/km变化到−15 ps³/km时，脉冲持续时间从0.78 ps到1.1 ps不断增加，而脉冲峰值功率从31.1307 W减小到24.3268 W，这影响了脉冲的传输质量。

继续观察在三阶色散影响下的脉冲频谱，将三阶色散从−1 ps³/km降低到−15 ps³/km，间隔为−0.2 ps³/km。最初脉冲顶部开始出现倾斜，如图4(a)所示。当三阶色散降低到−3.4 ps³/km，脉冲出现凯利边带。随着三阶色散继续减小，脉冲频谱变得更加不对称，频谱形状近似三角形，如图4(b)所示。

图  3  三阶色散绝对值相同时，脉冲时域轮廓

Figure  3.  Pulse temporal profile with the same absolute value of third-order dispersion

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图  4  不同三阶色散下，脉冲频谱

Figure  4.  Pulse frequency spectrum under different third-order dispersion

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图5记录了边带的位置分布和强度。当三阶色散从−3.4 ps³/km降低到−15 ps³/km，即从右向左读取横坐标。左边带位置和主峰位置从1030 nm左侧接近1030 nm，右边带位置从1030 nm右侧接近1030 nm。图5在三阶色散为−6 ps³/km这一点时，变化很大，推测这与该点的脉冲形状变化有关。在−3.4 ps³/km～−6 ps³/km内，左边带强度持续增加，然后在−6 ps³/km～−15 ps³/km内，左边带强度持续降低。在整个区域内，右边带强度持续降低。左右边带强度的差异可以解释如下：在三阶色散的影响下，边带频率相对频率中心不对称，再结合有限增益带宽的影响，导致一侧的边带强度更强^[23]。此外，当三阶绝对值相同时，脉冲频谱关于1030 nm镜像对称。

图  5  脉冲边带的位置和强度随三阶色散的变化

Figure  5.  Position and intensity of pulse sidebands vary with third-order dispersion

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观察三阶色散下的脉冲演化，可以发现三阶色散的一个作用是提前或者延迟脉冲，使得脉冲在时域发生偏移^[24]。在这里定义：脉冲时域偏移=偏移时间/循环数，其符号为正时，脉冲在时域向右移动，符号为负时，脉冲在时域向左移动。当三阶色散从−1 ps³/km变化到−15 ps³/km时，观察到脉冲在时域向左偏移，并且偏移程度越来越大，如图6所示。在−3.4 ps³/km和−6 ps³/km的两点变化可能归因于脉冲形状的变化。

图  6  三阶色散对脉冲偏移的影响

Figure  6.  Influence of third-order dispersion on pulse shift

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2.2   四阶色散对孤子特性影响的数值仿真

进一步研究四阶色散对脉冲的影响，β₄是四阶色散参数。考虑到三阶色散比四阶色散对脉冲的影响更大，让β₃参数为零，去消除三阶色散的影响，β₂以及其他参数仍然保持最初仿真数值。线性降低β₄数值，从−10 ps⁴/km降低到−100 ps⁴/km，间隔为−10 ps⁴/km。四阶色散参数和光脉冲传输方程参照相关文献^[22,25]。

当考虑到四阶色散时，光脉冲传输方程如下：

四阶色散可以使脉冲展宽^[21]。这是因为负四阶色散使脉冲的蓝移快于红移，与群速度色散使脉冲展宽的原理相似。当四阶色散从−10 ps⁴/km降低到−100 ps⁴/km时，脉宽从0.62 ps展宽到1.42 ps，如图7所示。

图  7  脉宽时间随四阶色散的变化

Figure  7.  Variation of pulse width time with fourth-order dispersion

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图8记录了四阶色散为−20 ps⁴/km情况下，脉冲的演化过程以及频谱。在小饱和能量E_sat为20 pJ的条件下，受到四阶色散影响的脉冲频谱依旧呈对称结构，这与三阶色散导致脉冲频谱的不对称有所不同。同时脉冲也未产生长拖尾结构，也未发生时域偏移。

图  8  当${\beta _4} = - 20\;{{{\rm{p}}{{\rm{s}}^4}} {{\rm{km}}}}$时的脉冲演化图与脉冲频谱

Figure  8.  Pulse evolution diagram and pulse spectrum while ${\beta _4} = - 20\;{{{\rm{p}}{{\rm{s}}^4}} {{\rm{km}}}}$

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在四阶色散影响下，脉冲的频谱呈现对称结构的凯利边带，如图8(b)所示。当四阶色散从−10 ps⁴/km变化到−100 ps⁴/km时，记录边带强度的变化。随着四阶色散的减小，边带强度逐渐减小，变化趋势如图9所示。

图  9  边带强度随四阶色散的变化

Figure  9.  Variation of sideband intensity with fourth-order dispersion

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3   结论

本文研究了被动锁模掺镱光纤激光器中高阶色散对输出脉冲的影响。首先，探索了三阶色散对输出孤子脉冲特性的影响。通过数值仿真，发现三阶色散在时域上改变了脉冲时域轮廓，并可以提前或者延迟脉冲。在频域上，三阶色散造成了频谱的不对称，影响了脉冲频谱边带的位置和强度。最后，探索了四阶色散对锁模脉冲特性的影响，给出孤子脉冲的时域演化图及频谱图。仿真过程中，脉冲未产生时域偏移和长拖尾结构，这与三阶色散有所不同。通过仿真发现，脉冲宽度随四阶色散的变化发生改变，四阶色散类似于群速度色散，也可以展宽脉冲，同时引起频谱边带的强度发生改变。四阶色散可以产生高能的纯四次孤子，关于四阶色散的研究对理解纯四次孤子有一定的指导意义。这项工作有利于更好地理解高阶色散，对光纤激光器的实际应用具有重要意义。