Design of off-axis three-mirror system with large symmetric field of view
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摘要:
离轴反射系统具有不产生色差、无中心遮拦、结构紧凑等特点，但受其非对称结构影响，其视场常常为线视场。基于Zemax设计了一种大对称视场的离轴三反系统，视场为13°×13°，相对孔径为1/5，焦距为800 mm，波长为400 mm~1 000 mm，主镜和三镜为自由曲面，次镜为二次曲面。设计结果表明:对称视场离轴三反系统的点列图直径均方根小于5 μm，80%能量在一个像元内，光学传递函数接近衍射极限，各项指标满足应用要求。
Abstract:The off-axis reflection system has the characteristics of no chromatic aberration, no central obscuration and compact structure, but due to its asymmetric structure, its field of view is often a linear field of view. An off-axis three-mirror system with a large symmetric field of view was designed based on Zemax. The field of view is 13°×13°, the relative aperture is 1/5, the focal length is 800 mm, and the wavelength is 400 mm~1 000 mm. The primary mirror and the third mirror are free-form surfaces, and the secondary mirror is a quadratic surface. The design results show that the root mean square of spot diagram diameter of the proposed system is less than 5 μm, 80% of the energy is in the one pixel, the optical transfer function is close to the diffraction limit, and all the indicators meet the application requirements.
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引言
随着人类在大气遥感、海洋遥感、对地侦察领域的逐步深入，人们对光学系统的要求越来越高，空间光学也进入到新的领域。在复杂的空天环境下，经典的透射式光学系统存在许多难题，例如,为了校正色差需要多个镜片，导致轻量化困难；大口径玻璃镜片难以加工装调，复杂温度环境下热像差难以平衡。作为对比，反射系统不存在色差，工作波长宽，可采用低热膨胀系数材料加工，光学效率高，更符合实际应用要求。而其中离轴反射系统可以做到无中心遮拦，相比同轴系统可以做到更大视场[1]。
美国的UickBird-2卫星[2]、日本的ALOS卫星、法国的SPOT3S以及英国的Top Sat均搭载离轴三反光学系统[3]。传统的离轴系统会引入非对称像差，一般采用线视场，即偏轴方向（子午视场）视场较小（1°左右），大视场的像差难以校正。随着计算机计算能力以及数控加工能力的提升，引入自由曲面可以为离轴系统平衡对称性像差，扩大系统视场[4]。
本文在几何光学和像差理论的基础上，研究了离轴反射式系统的设计问题。计算得出同轴反射系统的初始结构，采用视场离轴的方式避免中心遮拦并逐步扩大视场[5]，引入Zernike多项式自由曲面，实现了13°×13°的大对称视场，最后对其成像性能进行了分析评估。
1 光学系统设计
1.1 系统设计指标
卫星在轨高度H、地面覆盖宽度W、地面分辨率RGSD以及探测器像元尺寸α有以下关系式：
$$ f = \frac{{\alpha \times H}}{{R_{\rm{GSD}}}} $$ (1) $$ \omega = 2\arctan \left( {\frac{W}{{2H}}} \right) $$ (2) 式中：f为光学系统焦距；ω为光学系统视场。假定卫星在轨高度H=650 km，地面覆盖宽度W=150 km，探测器像元尺寸为5 μm，则本文设计的离轴反射系统指标如表1所示。
表 1 光学系统指标Table 1. Optical system parameters参数 指标 焦距/mm 800 mm F数 5 视场/（°） 13×13 波长/nm 400～1 000 地面分辨率/m 4 1.2 初始结构设计
离轴反射系统的初始结构通常在同轴系统的基础上进行离轴，最后达到中心无遮拦的效果[6]。对于同轴系统的初始结构计算，假定3个反射镜均为二次曲面，物体在无穷远，如图1所示，即l1 = ∞，u1 = 0。设次镜对主镜的遮拦比为α1，三镜对次镜的遮拦比为α2，次镜的放大率为β1，三镜的放大率为β2，则有：
$$\begin{array}{l} {\alpha _1} = \dfrac{{{l_2}}}{{{f_1}}} \approx \dfrac{{{h_2}}}{{{h_1}}},\;\;\;\;{\alpha _2} = \dfrac{{{l_3}}}{{l_2^\prime }} \approx \dfrac{{{h_3}}}{{{h_2}}},\\ {\beta _2} = \dfrac{{l_2^\prime }}{{{l_2}}} = \dfrac{{{u_2}}}{{u_2^\prime }},\;\;\;\;{\beta _2} = \dfrac{{l_3^\prime }}{{{l_3}}} \approx \dfrac{{{u_3}}}{{u_3^\prime }} \end{array} $$ (3) 根据像差理论[7]可以计算出初始结构的球差SⅠ、彗差SⅡ、像散SⅢ和场曲SⅣ的像差系数分别为
$$ {S_{\rm{I}}} = \frac{1}{4}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{\rm{e}}_1^2 - 1} \right)\beta _1^3{\beta _2}^3 - {\rm{e}}_2^2{\alpha _1}{\beta _2}^3{{\left( {1 + {\beta _1}} \right)}^3} + {\rm{e}}_3^3{\alpha _1}{\alpha _2}{{\left( {1 + {\beta _2}} \right)}^3}} { + {\alpha _1}{\beta _2}^3\left( {1 + {\beta _1}} \right){{\left( {1 - {\beta _1}} \right)}^2} + {\alpha _1}{\alpha _2}\left( {1 + {\beta _2}} \right){{\left( {1 - {\beta _2}} \right)}^2}} \end{array}} \right] $$ (4) $$ \begin{split} {S_{{\rm{II }}}} =& - \dfrac{{{{\rm{e}}_2}^2\left( {{\alpha _1} - 1} \right){\beta _2}^3{{\left( {1 + {\beta _1}} \right)}^3}}}{{4{\beta _1}{\beta _2}}} + {{\rm{e}}_3}^2\dfrac{{\left[ {{\alpha _2}\left( {{\alpha _1} - 1} \right) + {\beta _1}\left( {1 - {\alpha _2}} \right)} \right]{{\left( {1 + {\beta _2}} \right)}^2}}}{{4{\beta _1}{\beta _2}}} + \dfrac{{\left( {{\alpha _1} - 1} \right){\beta _2}^3\left( {1 + {\beta _1}} \right){{\left( {1 - {\beta _1}} \right)}^2}}}{{4{\beta _1}{\beta _2}}} -\\ & \dfrac{{\left[ {{\alpha _2}\left( {{\alpha _1} - 1} \right) + {\beta _1}\left( {1 - {\alpha _2}} \right)} \right]\left( {1 + {\beta _2}} \right){{\left( {1 - {\beta _2}} \right)}^2}}}{{4{\beta _1}{\beta _2}}} - \dfrac{1}{2} \end{split} $$ (5) $$\begin{split} {S_{{\rm{III }}}} =& - {{\rm{e}}_2}^2\dfrac{{{\beta _2}{{\left( {{\alpha _1} - 1} \right)}^2}{{\left( {1 - {\beta _1}} \right)}^2}}}{{4{\alpha _1}{\beta _1}^2}} + {{\rm{e}}_3}^2\dfrac{{{{\left[ {{\alpha _2}\left( {{\alpha _1} - 1} \right) + {\beta _1}\left( {1 - {\alpha _2}} \right)} \right]}^2}{{\left( {1 + {\beta _2}} \right)}^3}}}{{4{\alpha _1}{\alpha _2}{\beta _1}^2{\beta _2}^2}} +\dfrac{{{\beta _2}{{\left( {{\alpha _1} - 1} \right)}^2}\left( {1 + {\beta _1}} \right){{\left( {1 - {\beta _1}} \right)}^2}}}{{4{\alpha _1}{\beta _1}^2}} - \\ & \dfrac{{{{\left[ {{\alpha _2}\left( {{\alpha _1} - 1} \right) + {\beta _1}\left( {1 - {\alpha _2}} \right)} \right]}^2}\left( {1 + {\beta _2}} \right){{\left( {1 - {\beta _2}} \right)}^2}}}{{4{\alpha _1}{\alpha _2}\beta _1^2{\beta _2}^2}} -\dfrac{{{\beta _2}\left( {{\alpha _1} - 1} \right)\left( {1 - {\beta _1}} \right)\left( {1 + {\beta _1}} \right)}}{{{\alpha _1}{\beta _1}}} - \dfrac{{\left[ {{\alpha _2}\left( {{\alpha _1} - 1} \right) + {\beta _1}\left( {1 - {\alpha _2}} \right)} \right]\left( {1 + {\beta _2}} \right)\left( {1 - {\beta _2}} \right)}}{{{\alpha _1}{\alpha _2}{\beta _1}{\beta _2}}} - \\ &{\beta _1}{\beta _2} + \dfrac{{{\beta _2}\left( {1 + {\beta _1}} \right)}}{{{\alpha _1}}} - \dfrac{{1 + {\beta _2}}}{{{\alpha _1}{\alpha _2}}} \\[-12pt] \end{split}$$ (6) $$ {S_{{\rm{IV}}}} = {\beta _1}{\beta _2} - \frac{{{\beta _2}\left( {1 + {\beta _1}} \right)}}{{{\alpha _1}}} + \frac{{1 + {\beta _2}}}{{{\alpha _1}{\alpha _2}}}$$ (7) 联立式（4）～式（7），并使各项像差系数为0，本文选用无中间像面的同轴反射结构作为初始结构，利用Matlab进行编程解方程组，输入符合条件的轮廓参数即可得到一组初始结构参数[8]，如表2所示。根据以上条件得到系统的同轴初始结构，如图2所示。
表 2 初始结构参数Table 2. Initial structural parameters表面 曲率半径/mm 距离/mm 圆锥系数 主镜 −2 400 −480 −4.443 次镜 −757 480 −0.068 三镜 −960 −768 0.177 2 优化思路
2.1 设计优化
在得到同轴初始结构后进行离轴处理，离轴方式分为孔径离轴和视场离轴。孔径离轴情况下光阑在主镜上，光学结构不对称，故视场角无法做得太大；视场离轴情况下光阑一般在次镜上，有利于视场角的扩展，所以本文采用视场离轴的方式[9]。
设置波长为400 nm～1 000 nm，主镜和三镜均为非球面。给定同轴结构一个起始离轴视场角，并设置视场，稍作优化，在保证光线不被遮拦的情况下满足像质要求，得到小视场的离轴初始结构[10]。视场设置为x方向−5°～5°，y方向由于离轴视场的不对称性，视场设置为6°～7°，此时视场为线视场，需要在此基础上扩展视场。
调整三反系统光线无遮拦后，进行优化。优化过程中，Zemax的计算方式会使系统趋于共轴，所以尽量不将距离以及角度设为变量，手动进行调整。扩大视场的方式应遵循逐步扩大的方法[11]，以1°、0.5°，甚至0.1°的幅度增加视场。
采用DIMX和DISC操作数在优化过程中控制畸变，优化采用波前+PTV的方式，以质心为参考。由于视场的离轴不对称特性，光瞳采样采用矩形阵列更为合适，本文设计采用12×12网格。使用EFFL操作数控制焦距为800 mm，TTHI控制镜面间距以及整体尺寸，COGT以及COLT控制二次曲面系数在合理的范围内[12]。除此之外，优化过程中时刻注意避免视场扩大导致光线遮拦，可编写ZPL宏语言对整个结构框架进行限制。设计优化思路流程图如图3所示。
2.2 自由曲面的应用
自由曲面区别于传统球面和非球面，具有非旋转对称性的特点，因此也拥有更高的优化自由度，对校正离轴系统的非对称性像差有天然的优势。自由曲面通常有两种数学方式进行描述：一是用离散点拟合描述，二是多项式组合描述。离散点拟合得到的自由曲面可以是任意形状的，但是在加工制造、检测等方面存在工艺性不足等问题。多项式组合描述方式具有较高的精度，所得到的自由曲面为连续平滑曲面，并且易于检测加工[13]。
在光学设计领域中，通常使用Zernike多项式和XY多项式进行自由曲面设计[14]。本文采用Zernike多项式进行设计，以二次曲面作为基底，用以下形式表示：
$$ {\textit{z}} = \frac{{c{r^2}}}{{1 + \sqrt {1 - (1 + k){c^2}{r^2}} }} + \sum\limits_{j = 1}^N {{A_j}} {Z_j}(\rho ,\varphi ) $$ (8) 式中：$\dfrac{{c{r^2}}}{{1 + \sqrt {1 - (1 + k){c^2}{r^2}} }} $为非球面方程；c为顶点处的曲率；r为径向口径；k为圆锥系数；$\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^N {{A_j}} {Z_j}(\rho ,\varphi ) $为Zernike方程的描述部分；N为Zernike多项式的项数；Aj为第j项系数；${Z_j}(\rho ,\varphi ) $为多项式表达式；$\rho $，$\varphi $分别为极坐标半径和坐标角。
Zernike多项式与像差理论吻合较好，其各项指标与Seidel像差可以很好地对应，有利于我们在优化过程中平衡像差。Zemax设计中常用Zernike Standard和Zernike Fringe两种形式，本文采用Zernike Fringe形式。
在y方向大于10°以后，普通非球面已经很难平衡不对称性像差[15]，此时引入自由曲面，将主镜和三镜设置为Zernike Fringe矢高形式的自由曲面。主镜和三镜优化后，在归一化半径为400 mm情况下，Zernike Fringe多项式系数如表3和表4所示。
表 3 主镜Zernike系数Table 3. Zernike coefficients of primary mirror项数 参数 项数 参数 项数 参数 Z4 −5.888 998 Z16 12.048 383 Z28 1.973 612 5 Z5 0.763 341 68 Z17 11.405 128 Z31 −0.353 444 91 Z8 16.720 45 Z20 −4.986 482 8 Z32 0.550 896 96 Z9 −4.715 094 2 Z21 2.208 169 9 Z35 0.541 426 4 Z11 −17.063 728 Z24 2.607 720 1 Z36 0.072 619 379 Z12 0.655 611 58 Z25 6.987 462 3 Z37 −0.456 826 89 Z15 7.971 883 Z27 2.018 285 表 4 三镜Zernike系数Table 4. Zernike coefficients of tertiary mirror项数 参数 项数 参数 项数 参数 Z4 3.068 102 3 Z16 4.80 572 96 Z28 −0.089 332 522 Z5 −13.302 909 Z17 −0.471 574 32 Z31 0.105 020 45 Z8 −37.987 146 Z20 0.465 797 18 Z32 −0.568 719 95 Z9 1.328 642 4 Z21 −3.647 934 9 Z35 −0.864 518 24 Z11 0.821 888 53 Z24 −6.847 451 6 Z36 −0.721 849 52 Z12 −9.709 854 9 Z25 −0.930 853 56 Z37 −0.215 162 03 Z15 −22.614 259 Z27 0.086 890 123 表3和表4中并未选择所有的Zernike系数进行优化，而是选择了与x视场方向（弧矢方向）无关的系数进行优化，这样x方向视场便可设置为对称视场。本文设置x方向视场为0°～6.5°对称视场以及y方向视场为6°～19°，二者组合形成矩形视场。最终得到焦距800 mm、相对孔径1∶5、视场角13°×13°的大对称视场的离轴三反光学系统，具体结构参数如表5所示，光路图如图4所示。系统中次镜为孔径光阑，无中间像面，主镜和三镜为Zernike多项式自由曲面，次镜为二次曲面。
表 5 系统优化后结构参数Table 5. Optimized structural parameters表面 曲率半径/mm 距离/mm 圆锥系数 主镜 −1696.393 −527.344 8.742 次镜 −741.679 515.891 10.233 三镜 −460.872 −540.355 −4.352 3 像质评价
由奈奎斯特频率计算公式N=1/2α（α为探测器像元）可得，该系统的光学传递函数(MTF)参考频率为100 lp/mm，如图5所示。光学传递函数是评价光学系统各项性能的综合体现[16]，由图5可知，该系统在100 lp/mm处光学传递函数大于0.5，符合设计要求。
点列图的RMS（均方根）半径能够很好地反映光斑的能量集中度[17]，本系统点列图如图6所示，具体数值如表6所示。本系统的艾里斑半径为4.276 μm，各个视场的最大弥散斑半径为3.105 μm，均小于艾里斑半径，且小于一个像元尺寸5 μm，满足清晰成像的要求。由于反射系统不产生色差，由图6也可以看出，相同视场不同波长的光斑形状一致。图7为本系统的能量集中度曲线，可以看出80%以上的能量集中在5 μm，也小于一个像元尺寸。图8为该系统的场曲及畸变曲线图，可以看出畸变均在5%以内。
表 6 各视场RMS光斑半径Table 6. RMS spot radius of each field of viewμm x方向视场 y方向视场 6° 10° 15° 19° 0° 2.606 1.445 0.783 1.850 3.5° 2.657 2.177 1.947 3.005 6.5° 2.432 2.313 2.835 2.405 4 公差分析
公差分析是评判光学系统可行性的重要流程，公差如果过于严格，会导致成本上升甚至无法制造，公差过于宽松将会使成像质量下降严重。一般公差主要包括设计残余误差、加工误差和装调误差[18]。利用Zemax软件进行公差分析，将公差分配成若干个公差类别，随机作用于光学系统。以100 lp/mm处的衍射MTF为标准，进行200次蒙特卡洛分析，使用后截距进行公差补偿，根据实际加工装调状况对公差默认项进行适当地增添删改。最终公差分配结果如表7所示[19]。从表7可知，公差在可加工范围之内，满足实际生产状况。表8为蒙特卡罗分析结果。
表 7 离轴反射系统的系统公差Table 7. System tolerances for off-axis reflection system元件 公差参数 曲率半径/mm 二次曲面系数 X轴倾斜/(°) Y轴倾斜/(°) X轴偏心/mm Y轴偏心/mm 元件间隔/mm 主镜 ±0.2 ±0.001 0.01 0.01 ±0.1 ±0.1 ±0.1 次镜 ±0.1 ±0.001 0.01 0.01 ±0.1 ±0.1 ±0.1 三镜 ±0.1 ±0.001 0.03 0.01 ±0.1 ±0.1 ±0.1 表 8 蒙特卡罗公差分析结果Table 8. Monte Carlo tolerance analysis results蒙特卡罗百分比/% MTF值@100 lp/mm 90 0.39 80 0.45 50 0.51 5 结论
本文针对离轴反射系统在航空航天领域的优势，基于成像光学理论，计算出同轴反射系统的初始结构，再利用Zemax软件对同轴系统进行视场离轴，引入Zernike自由曲面并扩大视场，最终设计完成了一个视场为13°×13°，相对孔径为1/5，焦距为800 mm，波长为400 nm～1 000 nm大对称视场的光学系统。该系统成像质量优良，MTF接近衍射极限，在100 lp/mm处大于0.5，RMS光斑半径小于像元尺寸5 μm。系统公差分析结果表明，公差在可加工范围内，工艺性良好。
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表 1 光学系统指标
Table 1 Optical system parameters
参数 指标 焦距/mm 800 mm F数 5 视场/（°） 13×13 波长/nm 400～1 000 地面分辨率/m 4 
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表 2 初始结构参数
Table 2 Initial structural parameters
表面 曲率半径/mm 距离/mm 圆锥系数 主镜 −2 400 −480 −4.443 次镜 −757 480 −0.068 三镜 −960 −768 0.177
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表 3 主镜Zernike系数
Table 3 Zernike coefficients of primary mirror
项数 参数 项数 参数 项数 参数 Z4 −5.888 998 Z16 12.048 383 Z28 1.973 612 5 Z5 0.763 341 68 Z17 11.405 128 Z31 −0.353 444 91 Z8 16.720 45 Z20 −4.986 482 8 Z32 0.550 896 96 Z9 −4.715 094 2 Z21 2.208 169 9 Z35 0.541 426 4 Z11 −17.063 728 Z24 2.607 720 1 Z36 0.072 619 379 Z12 0.655 611 58 Z25 6.987 462 3 Z37 −0.456 826 89 Z15 7.971 883 Z27 2.018 285
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表 4 三镜Zernike系数
Table 4 Zernike coefficients of tertiary mirror
项数 参数 项数 参数 项数 参数 Z4 3.068 102 3 Z16 4.80 572 96 Z28 −0.089 332 522 Z5 −13.302 909 Z17 −0.471 574 32 Z31 0.105 020 45 Z8 −37.987 146 Z20 0.465 797 18 Z32 −0.568 719 95 Z9 1.328 642 4 Z21 −3.647 934 9 Z35 −0.864 518 24 Z11 0.821 888 53 Z24 −6.847 451 6 Z36 −0.721 849 52 Z12 −9.709 854 9 Z25 −0.930 853 56 Z37 −0.215 162 03 Z15 −22.614 259 Z27 0.086 890 123
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表 5 系统优化后结构参数
Table 5 Optimized structural parameters
表面 曲率半径/mm 距离/mm 圆锥系数 主镜 −1696.393 −527.344 8.742 次镜 −741.679 515.891 10.233 三镜 −460.872 −540.355 −4.352
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表 6 各视场RMS光斑半径
Table 6 RMS spot radius of each field of view
μm x方向视场 y方向视场 6° 10° 15° 19° 0° 2.606 1.445 0.783 1.850 3.5° 2.657 2.177 1.947 3.005 6.5° 2.432 2.313 2.835 2.405
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表 7 离轴反射系统的系统公差
Table 7 System tolerances for off-axis reflection system
元件 公差参数 曲率半径/mm 二次曲面系数 X轴倾斜/(°) Y轴倾斜/(°) X轴偏心/mm Y轴偏心/mm 元件间隔/mm 主镜 ±0.2 ±0.001 0.01 0.01 ±0.1 ±0.1 ±0.1 次镜 ±0.1 ±0.001 0.01 0.01 ±0.1 ±0.1 ±0.1 三镜 ±0.1 ±0.001 0.03 0.01 ±0.1 ±0.1 ±0.1
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表 8 蒙特卡罗公差分析结果
Table 8 Monte Carlo tolerance analysis results
蒙特卡罗百分比/% MTF值@100 lp/mm 90 0.39 80 0.45 50 0.51
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