Stress measurement of transparent elements based on polarized camera
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摘要:
应力检测对光学元件的制造和使用意义重大。基于应力双折射原理，提出了一种利用偏振相机测量应力分布的方法。根据Stokes矩阵和Mueller矩阵推导出应力值及应力方向计算公式，并对影响系统测量精度的主要误差进行了理论分析。为验证方法的可行性，搭建了一台测量应力分布的装置。使用该装置测量一块633 nm的四分之一波片，测得其误差为0.86 nm。进一步测量，得出一块车灯透镜的全场应力相位延迟量与应力方向图，利用所测相位延迟量计算出透镜中心区域的应力双折射值为9.21 nm/mm、主应力差为2.45 MPa；利用符号规则调整了透镜的应力方向，结果符合应力连续性原则。该方法测量应力分布时无需旋动光学元件，可实现应力延迟量及应力方向的实时测量。
Abstract:The stress measurement is of great significance for the manufacture and use of optical elements. Based on the principle of stress birefringence, a method to measure the stress distribution by polarized camera was proposed. The stress value and calculation formulas of stress direction were derived from Stokes matrix and Mueller matrix, and the main errors affecting the measurement accuracy of the system were analyzed theoretically. In order to verify the feasibility of the method, a device for measuring the stress distribution was constructed. A quarter wave plate of 633 nm was measured by this device, and the error was 0.86 nm. The full-field stress phase retardation and stress direction diagrams of headlight lens were obtained by further measurement. The measured phase retardation was used to calculate the stress birefringence value of central region of the lens of 9.21 nm/mm and the principal stress difference of 2.45 MPa. The symbolic rules were used to adjust the stress direction of the lens, and the results accorded with the principle of stress continuity. This method measures the stress distribution without rotating the optical elements, which can realize the real-time measurement of stress retardation and stress direction.
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Keywords:
- stress measurement /
- stress birefringence /
- polarized camera /
- Stokes matrix
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引言
光学系统由多个光学元件组成，其中以各类透明元件的应用最为广泛。由于光学元件在生产过程中受到制造工艺的制约，成品会有一定的残余应力存在，致使其在使用过程中产生收缩、变形、翘曲或裂纹。不仅影响制品的表面形状和光学性能，而且直接关系到产品的使用寿命和产品安全，因此应力测量对于保证光学元件的强度和光学性能具有重要意义[1]。
应力的测量方法主要分为机械法与光学检测法。机械法如钻孔法、取条法，在测量残余应力时一般将部件切割出来，然后测量其应力的变化，从而求出残余应力，是一种间接测量手段，会对元件造成一定的损坏；光学检测法如光弹法、拉曼法及X射线衍射法等，这些方法均属于无损检测，其中光弹法是对应力导致的双折射相位差的测量，具有光学关联性更直接、测量精度更高的特点[2]。用光弹效应测量相位的方法可分为偏振光调制法[3-4]和相移法[5]。偏振光调制法一般采用补偿器、四分之一波片等偏振元件作补偿得到相位延迟量，往往导致测量时间长、测量次数多，很难按要求的精度来复现各个等差线及等倾线的位置；相移法又称光强法，利用待测样品的相位延迟量和出射光的光强之间的关系求解相位延迟。基于这一理论，近年来研究者们不断提出新的测量系统，主要包括基于五步相移法获得光弹特征的方法[6]，基于四步相移法并利用自准直光路系统测量玻璃应力的方法 [7]，基于六步相移法的红外光弹系统以计算硅片应力分布的方法[8-9]。这些方法都需要旋转检偏器和四分之一波片，难以实现对应力的实时监控。为了同时获取不同方向上的偏振信息，有研究者采用分振幅法[10]。但由于使用了多个光电传感器，使得捕获的偏振图像存在采集不同步和图像不匹配的问题。为解决上述问题，有学者提出可利用偏振相机测量应力[11]。偏振相机应用范围广泛，对于划痕缺陷检测、成像效果增强及应力检测等方面具有显著优势，因此这一技术得到了越来越多的关注，但是在应力测量领域的研究仍有不足。
针对上述研究情况，本文将像素偏振相机应用在应力测量系统中。首先利用Stokes矩阵和Mueller矩阵求解透明光学元件的相位延迟量分布及应力方向的计算公式，其次分析了影响系统测量精度的主要因素，并根据后续分析提出减小误差的方法，随后搭建出一套测量装置。实验过程简便，重复性好，最后通过四分之一波片的标定和车灯透镜应力分布的测量验证了方法的有效性。
1 测量原理与方案
1.1 光路模型
光路示意图如图1所示，光源沿z轴出发，经过一块透光轴为竖直y方向的起偏器成为线偏振光，然后垂直入射到待测样品表面，经透射后其偏振状态发生改变，最后光强信号由偏振相机接收。
由于偏振相机内置检偏方向为0°、45°、90°、135°，为方便与偏振相机组合使用，本文将采用四步相移法求解样品的应力分布。选用线偏光而非圆偏光的原因在于考虑到圆偏光的四步相移法在不涉及到旋转四分之一波片的前提下容易产生波片与光源波长不匹配的情况，从而影响测量结果[12]。
1.2 理论推导
光路原理图如图2所示，对整个光路运用Stokes矢量和Mueller矩阵表示法推导如下：
光强为I0的单色光光源S0为
$$ {{\boldsymbol{S}}_0} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{I}}_0}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right] $$ 主轴方向与x轴成$\text{γ} $的起偏器Ρ0的Mueller矩阵为
$$ {{\boldsymbol{P}}_0} = \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\cos 2\gamma }&{\sin 2\gamma }&0 \\ {\cos 2\gamma }&{{{\cos }^2}2\gamma }&{\sin 2\gamma \cos 2\gamma }&0 \\ {\sin 2\gamma }&{\sin 2\gamma \cos 2\gamma }&{{{\sin }^2}2\gamma }&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right] $$ 与x轴的夹角为θ、相位延迟量为φ的待测样品的Mueller矩阵为
$$ {\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0 \\ 0&{{{\cos }^2}2\theta + {{\sin }^2}2\theta \cos \varphi }&{(1 - \cos \varphi )\sin 2\theta \cos 2\theta }&{ - \sin 2\theta \sin \varphi } \\ 0&{(1 - \cos \varphi )\sin 2\theta \cos 2\theta }&{{{\sin }^2}2\theta + {{\cos }^2}2\theta \cos \varphi }&{\cos 2\theta \sin \varphi } \\ 0&{\sin 2\theta \sin \varphi }&{ - \cos 2\theta \sin \varphi }&{\cos \varphi } \end{array}} \right] $$ 与x轴成β的检偏器分为0°、45°、90°、135° 等4个检偏方向，可表示为
$$ \begin{split} {{\boldsymbol{P}}_i} &= \frac{1}{2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\cos 2(\beta + {k_i})}&{\sin 2(\beta + {k_i})}&0 \\ {\cos 2(\beta + {k_i})}&{{{\cos }^2}2(\beta + {k_i})}&{\sin 2(\beta + {k_i})\cos 2(\beta + {k_i})}&0 \\ {\sin 2(\beta + {k_i})}&{\sin 2(\beta + i)\cos 2(\beta + {k_i})}&{{{\sin }^2}2(\beta + {k_i})}&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right], &(i = 1,2,3,4;{k_i} = 0^\circ ,45^\circ ,90^\circ ,135^\circ ) \end{split}$$ 则经过检偏器后的出射光的Stokes矢量可以由（2）式推出：
$$ {{\boldsymbol{I}}_i} = {{\boldsymbol{P}}_i}{\boldsymbol{M}}{{\boldsymbol{P}}_0}{{\boldsymbol{S}}_0},\;\;\;\;\;(i = 1,2,3,4) $$ (1) 根据Stokes矢量的定义可知，出射光矢量第1行的式子即为探测器CCD检测到的光强，则：
$$ {{\boldsymbol{I}}_1} = \frac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{4}\left[ {1 + \cos 2(\beta - \gamma ) - 2{{\sin }^2}\frac{\varphi }{2}\sin 2(\theta - \gamma )\sin 2(\theta - \beta )} \right] $$ (2) 取$\gamma = 0$，$\beta = 0$,可得：
$$ {{\boldsymbol{I}}_1} = \frac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{2} - \frac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{2}{\sin ^2}\frac{\varphi }{2}{\sin ^2}(2\theta ) $$ (3) 同理可得${{\boldsymbol{I}}}_{2}、{{\boldsymbol{I}}}_{3}、{{\boldsymbol{I}}}_{4}$为
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\boldsymbol{I}}_1} = \dfrac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{2} - \dfrac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{2}{{\sin }^2}\dfrac{\varphi }{2}{{\sin }^2}(2\theta )} \\ {{{\boldsymbol{I}}_2} = \dfrac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{4} + \dfrac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{2}{{\sin }^2}\dfrac{\varphi }{2}\sin 2\theta \cos 2\theta } \\ {{{\boldsymbol{I}}_3} = \dfrac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{2}{{\sin }^2}\dfrac{\varphi }{2}{{\sin }^2}(2\theta )} \\ {{{\boldsymbol{I}}_4} = \dfrac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{4} - \dfrac{{{{\boldsymbol{I}}_0}}}{2}{{\sin }^2}\dfrac{\varphi }{2}\sin 2\theta \cos 2\theta } \end{array}} \right. $$ (4) 由（4）式可知：
$$ \varphi = 2\arcsin \sqrt {\frac{{{{\left( {{{\boldsymbol{I}}_3} + {{\boldsymbol{I}}_3}} \right)}^2} + {{({{\boldsymbol{I}}_2} - {{\boldsymbol{I}}_4})}^2}}}{{4{{\boldsymbol{I}}_3}({{\boldsymbol{I}}_1} + {{\boldsymbol{I}}_3})}}} $$ (5) $$ \theta = \frac{1}{2}\arctan \left(\frac{{{{\boldsymbol{I}}_3} - {{\boldsymbol{I}}_1} + {{\boldsymbol{I}}_2} + {{\boldsymbol{I}}_4}}}{{{{\boldsymbol{I}}_2} - {{\boldsymbol{I}}_4}}}\right) $$ (6) 从（5）式、（6）式可以看出，该方法在求解相位延迟量φ或应力方向角θ时，只与光强大小相关，二者互不影响，能够得到较好的结果。
1.3 误差模拟
影响精度的主要因素是器件的方位角误差，其中偏振相机的4个检偏方向可看作严格满足条件，因此误差主要在于起偏器与光轴夹角和偏振相机与光轴夹角不满足（3）式。由于γ=0°、β=0°，即起偏器、检偏器与x轴没有偏差角，是等式成立的先决条件。当此条件不成立时， I1产生的误差可表示为(2)式，其中cos2(β－γ)为常数项。空测时将I3调至光强最小处使得β－γ足够小，可令cos2(β－γ)=1－δ，此时sin2(β－γ)=(2δ－δ2)1/2，对I2、I3、I4做同样处理，可得到以下两种误差。
1） 方位角偏差给相位测量带来的误差
将无偏差角时测量的相位延迟量记作φ，有偏差角时测量的相位延迟量记作φ1，两者之差为Δφ, 经运算可得φ的最大误差Δφ/φ为
$$ \begin{gathered} \frac{{\Delta \varphi }}{\varphi } = 1 - {\left[ {\frac{{\sin 2(\theta - \gamma )}}{{\sin 2(\theta - \beta )}}} \right]^{1/2}} \\ \\ \end{gathered} $$ (7) 2） 方位角偏差给应力方向测量带来的误差
将无偏差角时测量的应力方向角记作θ，有偏差角时测量的应力方向角记作θ1，两者之差为Δθ, 经运算可得θ的最大误差Δθ/θ为
$$ \frac{{\Delta \theta }}{\theta } = 1 - \frac{{\tan 2\left( {\theta - \beta } \right)}}{{\tan 2\theta }} $$ (8) 2 实验流程
偏振相机是利用像素偏振片阵列对光束的偏振状态进行像素化的空间调制，使得4个方向上的偏振信息可以被同时捕获。使用最为广泛的偏振相机是由4个线偏振片单元、2×2周期排布形成的像素偏振片阵列组成[13]。从偏振片阵列中可分别提取出4个方向上的偏振信息，组成4幅偏振图像。图3为偏振相机原理示意图，以0°偏振方向为例，显示出偏振信息的获取过程。本文采用的偏振相机型号为MER-502-79U3M POL，分辨率为2 448 (H)×2 048 (V)，帧率为79 帧/s，传感器为2/3" Sony IMX250MZR，像素尺寸为3.45 μm×3.45 μm。
参考上述光路及分析计算，设计了一款实验系统，如图4（a）所示。该系统选择波长为620 nm的红光背光源，谱线宽度为5 nm。起偏器为线偏振片，波段为400 nm～700 nm，消光比>1000∶1。载物台用以承载样品，样品以车灯透镜为例。调节光学镜头可使样品的成像质量达到偏振相机的分辨率要求。
使用时先调节光源强度及曝光时间，使得偏振相机接收到的光强落在其线性相应区域；其次调节焦距及光圈大小，使样品能清晰成像；最后旋转起偏器在计算机中显示偏振相机捕获的4幅图像。当代表90°方向的I3光最暗、0°方向的I1光最亮，代表45°、135°方向的I2、I4光强相等时，可认为偏差角β－γ=0°。系统标定如图4（b）所示。
3 实验结果与分析
3.1 四分之一波片的测量及分析
选取一块波长为633 nm的四分之一波片并绘制误差曲线，当光源波长为620 nm时，该波片的相位延迟量为0.255 λ，即158.1 nm，精度为λ/100。图5显示了四分之一波片处于水平中位线上的各点相位延迟量的分布情况，滤波去噪后基本是一条水平线，显示出良好的均一性。
由上述误差的理论仿真及测量结果可知，应力值和应力方向的精度受到系统偏差角的影响且与样品本身的应力方向有关。将波片快轴方向在0°～90°内每5°旋转一次，测量误差如表1所示。多次测量的结果显示，精度与快轴方向有关。图6（a）和图6（b）模拟了相位延迟量与应力方向在不同偏差角下的误差曲线。当系统偏差角为2°时，模拟得到的理论误差曲线与实验误差曲线对比如图6（c）和图6（d）所示，二者相关系数大于0.85。
误差曲线显示出随着系统偏差角增大，误差会升高，偏差角存在的原因是空测时I3未调至最小。由于本例采用的是目测法，故I3仍有一定剩余量，使用光功率计调节可降低此误差。此外，注意到图6（a）和图6（b）中当快轴方向处于40°～60°范围内时，波片误差较小，在测量样品时可利用这一特性进一步减小误差。
表 1 四分之一波片的测量分析结果Table 1. Measurement analysis results of quarter wave plate快轴方向/（°） 延迟量/nm 误差/nm 30 151.53 6.57 35 160.41 2.31 45 158.96 0.86 55 159.64 1.54 60 152.65 5.45 3.2 透镜应力分布的测量及分析
透明元件的应力在各个区域不同，但整体分布是连续的，其应力分布特征影响着光学系统的性能。本文实际测量了一块LED车灯透镜，其尺寸规格为20 mm×15 mm×5 mm。图7显示了由（5）式计算出的透镜应力相位延迟量分布。从图7中可以看出，该透镜的相位延迟在中心菱形区域分布较均匀，选取菱形中心位置处的一点Ρ，该点φ=45°。计算其应力双折射值以此反映该透镜的应力大小。
该透镜由硼硅玻璃制成，其应力光学常数为3.8×10−6 mm2/N。取中心一小块区域测量多点，延迟量取平均值得46.06 nm，厚度为5 mm。由应力-双折射公式可知[14]，该中心区域应力双折射值为9.21 nm/mm、应力值为2.45 MPa。使用德国ILIS的Strain Scope应力测量仪检测的延迟量为44.24 nm，结果相差在2 nm范围以内。
图8（a）显示的是应力方向的全场测量结果，可以看出有明显的跳变，不满足应力连续性原则。造成这种现象的原因是应力方向角θ是由（6）式反正切函数解出，反正切函数的值域限制了应力方向角的范围。若要θ∈[0,π]，则需：
$$ \arctan \left(\frac{{{{\boldsymbol{I}}_3} - {{\boldsymbol{I}}_1} + {{\boldsymbol{I}}_2} + {{\boldsymbol{I}}_4}}}{{{{\boldsymbol{I}}_2} - {{\boldsymbol{I}}_4}}}\right) \subset \left[ {0,2\pi } \right] $$ (9) 根据参考文献 [15]中使用的符号规则（1），处理后得到真实的应力方向角全场分布图，满足应力连续性原则，如图8（b）所示。
4 结论
使用相移法确定透明元件内部应力的分布，相比于传统方法，不需要冻结应力和切片，符合实际应用的需求。本文基于应力双折射原理，提出了一种利用偏振相机实现四步相移可快速测量透明元件应力分布的测量方案。提出的理论误差曲线图符合实验误差曲线图，二者相似系数大于0.85。四分之一波片的测量结果显示，测量值为158.96 nm，误差小于1%。对一块车灯透镜的残余应力进行实测，得出透镜的全场应力延迟量分布，对测量得到的应力方向信息使用符号规则后得到了连续的应力方向分布图。与德国ILIS公司的应力测量仪进行了比较，结果相差在2 nm以内，验证了该方法的有效性。本文所述方法的主要优势在于无需旋转偏振元件即可实现全场应力测量，可适用于应力的实时测量。
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表 1 四分之一波片的测量分析结果
Table 1 Measurement analysis results of quarter wave plate
快轴方向/（°） 延迟量/nm 误差/nm 30 151.53 6.57 35 160.41 2.31 45 158.96 0.86 55 159.64 1.54 60 152.65 5.45 
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