引言

二维陀螺平台主要用于光学传感器承载，实现载体运动条件下对目标的观察和跟踪，由于具有质量轻、载荷比高的优势，近年来在无人平台得到了广泛的应用^[1-5]。二维陀螺平台通常包含方位轴和俯仰轴^[3-7]，俯仰轴上安装有方位陀螺和俯仰陀螺，直接敏感瞄准线方位、俯仰扰动，通过闭环作用驱动电机补偿扰动，使得瞄准线惯性稳定^[7-8]。由于方位瞄准线敏感轴与驱动轴之间存在非线性约束，方位电机的运动在瞄准线轴向的投影分量随俯仰角增大逐渐下降，从而导致控制回路总增益下降。陈嘉鸿等人研究了通过增加正割补偿环节弥补系统增益损失的方法^[5-8]，取得了较好的效果。但随着俯仰角增大至−90°附近，即进入过顶区域时，理论上增益修正系数趋近于无穷大^[5]，会放大电机力矩扰动，从而引起方位驱动轴震荡^[6]。工程上常采用欠增益^[6]或切换过顶陀螺的方法^[3]保持系统正常工作，但欠增益会牺牲整体性能，而过顶陀螺敏感的是瞄准线横滚速度，并不能实现对瞄准线方位的准确控制，因此上述方法均存在不同程度的缺陷。

本文从数学原理上分析了二维陀螺平台瞄准线方位的稳定机理和固有问题，并对过顶位置引起方位电机轴震荡的原因进行了分析，提出基于扰动源分类控制的稳定方法。该方法通过改进控制结构消除了闭环回路中的非线性环节和增益补偿环节，克服了过顶位置陀螺测量噪声和横滚扰动高频分量引起的方位瞄准线驱动轴震荡的问题，并对方位扰动和横滚扰动的低频分量保持了较好的补偿能力，最后通过仿真和实验验证了该方法的效果。

1   二维陀螺平台工作原理及固有问题

二维陀螺平台的坐标系包含机体坐标系$ P $、基座坐标系$ B $、方位坐标系$ A $、俯仰坐标系$ E $、瞄准线坐标系$ L $，如图1所示。

图  1  坐标系定义及旋转示意图

Figure  1.  Schematic diagram of definition and rotation of coordinate system

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机体坐标系固连于载机平台，$ Z $轴指向天顶，$ Y $轴指向机头前方，$ X $轴与$ Z $轴和$ Y $轴所组成的平面垂直并指向机身右侧。二维陀螺平台基座安装在飞机机体上，则基座坐标系与机体坐标系重合。方位坐标系固连于方位轴，由基座坐标系沿$ Z $轴旋转$ \phi $角度得到，俯仰坐标系固连于俯仰轴，由方位坐标系沿$ X $轴旋转$ \theta $角得到，$ \phi $和$ \theta $由角位置传感器测量。光电传感器安装在俯仰轴上，瞄准线指向俯仰坐标系$ Y $轴方向，由几何关系可知，瞄准线坐标系与俯仰坐标系重合^[9]。

设基座坐标系、方位坐标系、俯仰坐标系的惯性速度分别为$ {\omega }^{B}={[{\omega }_{x}^{B}，{\omega }_{y}^{B}，{\omega }_{{\textit{z}} }^{B}\text{]}}^{\text{T}} $，${\omega }^{A}={[{\omega }_{x}^{A}，{\omega }_{y}^{A}，} $$ { {\omega }_{{\textit{z}} }^{A}]}^{\text{T}}$，$ {\omega }^{E}={[{\omega }_{x}^{E}，{\omega }_{y}^{E}，{\omega }_{{\textit{z}} }^{E}\text{]}}^{\text{T}} $，载机扰动速度$ \omega _{}^B $依次由基座坐标系向方位坐标系、俯仰坐标系传递。则瞄准线的运动学方程为

根据（1）式可知，当载机存在扰动速度$ \omega _{}^B $时，瞄准线俯仰向的角扰动为

俯仰驱动轴产生相对速度$ \dot \theta $与之抵消，即可保持$ \omega _x^L $为0，因此俯仰向不存在非线性关系，在整个工作范围内能够保持控制性能的一致性。

当载机存在扰动速度$ \omega _{}^B $时，瞄准线方位的角扰动为

方位驱动轴必须产生$\dot \phi = ( - \omega _x^B\sin \theta \sin \phi - $$ \omega _y^B\sin \theta \cos \phi + \omega _{\textit{z}} ^B\cos \theta )/\cos \theta$的速度才能保持$ \omega _z^L $为0，因此瞄准线方位驱动轴与陀螺敏感轴之间存在固有的非线性余弦关系，这导致瞄准线方位稳定能力随俯仰角增大急剧降低。通常在控制结构中加入正割增益补偿环节弥补系统增益损失，但需要的增益补偿量在过顶位置会逐渐趋于无穷大，从而放大陀螺噪声和控制偏差，引起方位电机轴震荡，系统将不能正常工作。

由上述分析可知，二维陀螺平台俯仰向控制不存在非线性关系，在整个工作范围内能够保持较好的一致性。因此本文主要分析并解决过顶位置的瞄准线方位稳定问题，对俯仰向的控制不再赘述。

2   过顶位置引起方位轴震荡的扰动源分析

将（2）式进行变换，则有：

瞄准线方位运动方程简化为

采用方位陀螺直接闭环构成负反馈控制回路，并通过增益补偿环节保持系统增益，方位瞄准线控制原理^[10-12]如图2所示。

图  2  方位瞄准线控制原理

Figure  2.  Schematic diagram of azimuth line-of-sight control

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图2中，基座运动通过轴系摩擦引起方位轴的方位扰动$\omega _{{\text{d}}{\textit{z}}}^A$，以余弦关系影响方位瞄准线运动；通过几何约束引起方位轴的横滚扰动$\omega _{{\text{d}}y}^A$，以正弦关系影响方位瞄准线运动。两类扰动引起的方位瞄准线运动由陀螺$ {G_g}(s) $测量并馈入闭环回路，产生控制偏差，通过速度控制器$ {G_v}(s) $、增益补偿环节$ 1/\cos \theta $、电流环$ {G_i}(s) $驱动被控对象$ {G_o}(s) $运动实现瞄准线稳定。

分析图2中方位电机在增益补偿环作用下的瞬时力矩输出。假定方位陀螺测量噪声为$ \delta $，根据（4）式可知方位陀螺的测量值$ \hat \omega _{\textit{z}}^L $为

则控制回路自身在电机后端产生的瞬时扰动力矩为

由（7）式可知，横滚扰动$\omega _{{\text{d}}y}^A$和陀螺测量噪声引起的电机力矩波动随俯仰角变化分别以正切和正割关系放大。过顶位置时，由于$ \tan \theta $和$ \sec \theta $趋于无穷大，将引起电机瞬时力矩剧烈波动。

进一步分析控制回路在闭环条件下的力矩输出。根据图2所示，当系统输入$ cmd $为0时，有：

因此可得：

其中，

由于过顶位置时$ \cos \theta $趋近于0，且$ {G_g}(s) \cdot {G_v}(s) \cdot $$ {G_i}(s) $在控制带宽范围的增益远大于1，因此$ {G_k}(s) \approx $$ 0 $。则闭环条件下电机输出力矩$ {T_m} $与$ {G_o}(s) $特性关系为

由于$ {G_o}(s) = 1/Js $为纯积分环节，增益以−20 dB/10倍频程的斜率衰减，在相同的扰动幅值作用下，$ {T_m} $随扰动频率增大而增大。在闭环条件下，由于系统仍对低频信号有一定的补偿能力，因此低频横滚扰动引起的扰动力矩不大，主要由横滚扰动的高频分量引起较大的电机力矩扰动。

通过以上分析可知，在过顶位置，一方面陀螺噪声被正割补偿环节急剧放大，导致电机力矩波动增大；另一方面克服横滚扰动所需的力矩以正切形式放大，在闭环条件下横滚扰动高频分量产生较大的电机力矩波动，两者共同作用是引起方位轴震荡的主要原因。为解决该问题，工程上常采用欠增益^[6]切换过顶陀螺的方法^[3]将陀螺噪声、横滚扰动高频分量引起的力矩波动控制在一定范围内，从而保持系统在过顶位置正常工作。

欠增益本质上是通过衰减增益、降低输出幅值来减小电机力矩波动的方法。由图2可知，由于采用方位陀螺直接闭环，方位扰动和横滚扰动对瞄准线方位的投影分量均通过该闭环回路进行隔离，因此欠增益会降低系统带宽，使得控制回路的幅频特性曲线整体下降^[13-14]，同时降低系统对方位扰动和横滚扰动在整个频段的隔离能力。

在过顶位置，由于瞄准线横滚轴与电机轴趋于同向，因此在俯仰框架上安装横滚陀螺并在过顶位置采用陀螺闭环的方法，可使非线性分量较小，电机力矩波动的放大倍数有限，不会引起方位电机轴震荡。显然，横滚陀螺敏感的是瞄准线的横滚运动而非方位运动，因此切换横滚陀螺后，该方法只能保持方位电机轴不失控，无法实现瞄准线方位稳定。

3   基于扰动源分类控制的过顶稳定方法

3.1   控制方法及原理

为解决上述问题，需设计新的控制方法。根据（5）式，考虑到通过对方位扰动$ \omega _z^A $和横滚扰动$ \omega _y^A $独立稳定的方法，同样能够使方位瞄准线$ \omega _z^L $稳定，且可以根据不同的扰动源分别处理，因此新的控制结构设计如图3所示。

图  3  基于扰动源分类控制的过顶稳定方法原理

Figure  3.  Schematic diagram of passing zenith stabilization method based on disturbance sources classification control

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新的控制结构包含反馈通道和前馈通道。反馈通道是以方位电机轴惯性速度$ \omega _{\textit{z}} ^A $为反馈信号的闭环回路，在方位扰动$\omega _{{\rm{d}}{\textit{z}} }^A$作用下，反馈通道能够通过闭环回路自身的控制作用使$ \omega _{\textit{z}} ^A $保持为0，则（5）式中由方位扰动引起的$ \omega _{\textit{z}} ^L $扰动分量得到抑制；当系统存在横滚扰动$\omega _{{\rm{d}}y}^A$时，由于$ \omega _y^A\tan \theta = \omega _{\textit{z}} ^A $，可通过前馈通道给定方位电机轴$ \omega _y^A\tan \theta $的前馈速度信号驱使方位电机转动，能够克服（5）式中由于横滚扰动引起的$ \omega _{\textit{z}} ^L $扰动。由于两种扰动构成了方位瞄准线的完整约束，因此该控制方法能够实现方位瞄准线稳定。

3.2   方位电机轴惯性速度测量方法

原理上最简单的方法是在方位转轴上安装2只陀螺直接敏感方位框架的方位速度$ \omega _{\textit{z}} ^A $和横滚速度$ \omega _y^A $ ^[11] ，构建反馈通道和前馈通道。但实际系统中，因正交误差、框架间隙和传动弹性等因素，存在无法准确求解瞄准线运动的问题，将陀螺与光学传感器固连安装，能够直接测量瞄准线运动，消除误差^[8]。因此采用在俯仰轴上安装方位、横滚陀螺的方法，直接测量瞄准线的惯性角速度$ \omega _y^L $和$ \omega _{\textit{z}} ^L $。此时$ \omega _{\textit{z}} ^A $和 $ \omega _y^A $可通过$ \omega _y^L $、$ \omega _{\textit{z}} ^L $及俯仰角$ \theta $解算得到，如（12）式和（13）式所示：

3.3   基于扰动源分类控制方法对电机力矩扰动的抑制分析

首先分析陀螺噪声引起的瞬时力矩扰动。设安装在俯仰轴的方位陀螺噪声为$ {\delta _1} $，横滚陀螺噪声为$ {\delta _2} $，根据（4）式可知，方位陀螺和横滚陀螺的测量值$ \hat \omega _{\textit{z}} ^L $、$ \hat \omega _y^L $分别为

根据图3可知，闭环回路自身在电机侧产生的瞬时扰动力矩为

式中：$\omega _{{\text{d}}{\textit{z}} }^A$为方位扰动真值；$\hat \omega _{{\text{d}}{\textit{z}} }^A$为引入陀螺噪声后的解算值。与（7）式相比，新的控制方法中，陀螺测量噪声不包含增益补偿环节的正割关系，因此在过顶位置时不会放大噪声引起的电机力矩扰动。

然后分析系统在横滚扰动$\omega _{{\rm{d}}y}^A$作用下的前馈通道补偿指令，即：

则横滚扰动在方位电机侧产生的瞬时扰动力矩为

（18）式中，横滚扰动的正切补偿关系仍然存在。但该方法的好处在于横滚扰动作为独立的反馈通道可以单独处理，不会影响反馈通道闭环回路的性能。通过增加滤波环节$ {G_{lp}}(s) $并调整滤波频率，前馈通道能够将系统对横滚扰动高频分量的响应衰减到系统耐受的范围内，并保留横滚扰动低频分量的补偿作用，从而避免横滚扰动高频分量引起的电机力矩波动。

由上述分析可知，该控制结构中反馈通道的控制对象为方位电机轴惯性速度，此时执行轴和敏感轴始终同向，因此闭环回路内部不包含非线性环节，增益系数在工作范围内具有一致性，无需额外补偿增益，陀螺噪声不会被正割补偿放大。通过增加前馈通道的低通滤波环节$ {G_{lp}}(s) $，能够衰减系统对横滚扰动高频分量的响应，降低过顶位置时方位电机的力矩波动，因此该控制方法能够克服过顶位置电机轴震荡的问题，且保留了系统对低频横滚扰动的补偿作用。另外，由于闭环回路不受增益补偿变化的影响，因此系统对方位扰动的隔离能力在整个俯仰角度范围内具有较好的一致性，始终保持最佳的隔离性能。

4   仿真和实验

4.1   建模仿真

根据图3控制方法原理建立的仿真模型如图4所示^[15-16]。模型中包含被控对象、电机、电流环、以及方位陀螺和横滚陀螺耦合而成的反馈通道和前馈通道。

图  4  方位瞄准线控制回路仿真模型

Figure  4.  Simulation diagram of azimuth line-of-sight control loop

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图4中$ {G_{gy}}(s) $和$ {G_{g{\textit{z}} }}(s) $为惯性速率陀螺，模型为$ \dfrac{{{\omega ^2}}}{{{s^2} + 2\xi \omega + {\omega ^2}}} $，外部扰动信号由$\omega _{{\text{d}}{\textit{z}} }^A$和$\omega _{{\text{d}}y}^A$处注入，按照公式(4)产生瞄准线方位、横滚角速度$ \omega _{\textit{z}} ^L $、$ \omega _y^L $，并被安装在俯仰框架上的陀螺$ {G_{gy}}(s) $和$ {G_{g{\textit{z}} }}(s) $敏感。陀螺叠加随机噪声后输出$ \hat \omega _{\textit{z}} ^L $、$ \hat \omega _y^L $，并按照（12）式和（13）式解算方位电机轴方位和横滚惯性速度测量值$ \hat \omega _{\textit{z}} ^A $、$ \hat \omega _y^A $，然后分别作为反馈信号和补偿指令构成反馈通道和前馈通道。前馈指令经过二阶低通滤波器$ {G_{lp}}(s) $滤波后将$\omega _{{\text{d}}y}^A$的低频补偿分量作为指令馈入反馈通道。控制对象模型为$ \dfrac{1}{{Js}} $，电机模型为$ \dfrac{1}{{Ls + R}} $，$ L $为电机电感，$ R $为电机内阻，$ {K_T} $、$ {K_e} $分别为力矩系数和反电动势系数，$ {K_i} $为电流环反馈增益。

仿真过程中，选取某二维陀螺平台真实参数，方位轴负载转动惯量$ J $为0.3 kg·m²，电机电感6 mH，电机内阻3.5 Ω，力矩系数、反电动势系数、电流环增益分别为3、0.26和1.25，陀螺带宽为200 Hz，阻尼比$ \xi $为0.7，前馈通道滤波环$ {G_{lp}}(s) $选用频率为20 Hz的二阶低通滤波器，在俯仰角为−85°条件下，分别仿真陀螺测量噪声和横滚扰动作用下的方位电机力矩扰动，数据由标准差统计处理。

1） 陀螺测量噪声引起的方位电机力矩扰动。陀螺测量噪声由高斯分布随机白噪声模拟并叠加常值漂移，系统在陀螺测量噪声作用下引起的方位电机力矩扰动如图5所示。图5中曲线1为传统方法，曲线2为本文控制方法。同等条件下，基于扰动源分类的控制方法扰动幅值为2.18 N·m，是传动方法扰动幅值12.34 N·m的0.17 倍，表明采用该方法能够降低约83%的力矩扰动幅值。

图  5  陀螺噪声引起的方位电机力矩扰动

Figure  5.  Torque disturbance of azimuth motor caused by gyro measurement noise

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2） 横滚扰动引起的方位电机力矩扰动。横滚扰动由$\omega _{{\rm{d}}y}^A$处注入，由随机噪声产生扰动源并通过一个带通滤波器模拟平台基座振动，结果如图6所示。图6中曲线1为传统方法，曲线2为本文控制方法。同等横滚扰动输入条件下，基于扰动源分类的控制方法扰动幅值为2.07 N·m，是传动方法扰动幅值13.69 N·m的0.15 倍，表明采用该方法能够降低约85%的力矩扰动幅值，且扰动力矩中高频信号被大幅衰减。

图  6  横滚扰动引起的方位电机力矩扰动

Figure  6.  Torque disturbance of azimuth motor caused by roll disturbance

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3） 瞄准线方位扰动隔离度对比。以$\omega _{{\text{d}} {\textit{z}}}^A$为输入，$ \omega _ {\textit{z}}^L $为输出，仿真的方位瞄准线对方位扰动隔离度曲线如图7所示。基于扰动源分类的控制方法 (曲线2)中反馈通道闭环回路不存在非线性关系，在任意俯仰角下的理论控制性能保持一致，因此优于采用欠增益降低回路整体性能的传统方法(曲线1)，在1 Hz处隔离度提高了16.43 dB。

图  7  瞄准线方位扰动隔离度

Figure  7.  Isolation character of line-of-sight azimuth disturbance

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4） 瞄准线横滚扰动隔离度对比。以$\omega _{{\text{d}}y}^A$为输入，$ \omega _ {\textit{z}}^L $为输出，仿真得到方位瞄准线对横滚扰动的隔离度曲线如图8所示。由于反馈通道低通滤波器导致相位滞后，新的控制方法隔离度曲线(曲线2)在中频段略有放大，但在整个低频段具有更好的隔离度，因此整体效果优于欠增益方法(曲线1)，在1 Hz处隔离度提高了7.7 dB。

图  8  瞄准线横滚扰动隔离度

Figure  8.  Isolation character of line-of-sight roll disturbance

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4.2   振动和摇摆实验

选取某二维陀螺平台作为实验对象，在俯仰轴上安装三轴陀螺分别敏感瞄准线方位、俯仰和横滚运动，通过嵌入式计算机采样陀螺信号并实现控制算法。调整二阶低通滤波器频率并观察系统工作状态，在−85°时测得系统的临界震荡频率约38 Hz，留有一定裕量后将二阶低通滤波器频率设置为30 Hz，在俯仰角为−85°条件下进行振动和摇摆实验，瞄准线抖动量由方位陀螺输出的角速度信号剔除漂移后积分获得，最终由标准差统计结果。

振动实验以某无人机平台振动谱为参考，采用随机宽频信号叠加定频点模拟载机振动，测量$ X $、$ Y $、$ Z $ 3个方向扰动下瞄准线方位的稳定精度，并利用均方根公式求得瞄准线方位综合稳定精度，如表1所示。

表  1  瞄准线方位振动实验结果

Table  1.  Experimental results of line-of-sight azimuth vibration μrad

次数	传统方法					本方法
	X向	Y向	Z向	均方根		X向	Y向	Z向	均方根
1	67.8	108.6	54.1	80.2		19.4	66.4	32.1	44.0
2	68.3	111.0	53.3	81.3		18.9	66.8	33.8	44.6
3	71.4	114.3	55.7	84.2		19.9	66.3	34.3	44.6
4	70.6	113.6	53.9	83.3		19.7	67.3	33.8	44.9
5	69.1	112.9	56.1	83.0		20.1	66.9	32.9	44.8
平均值	69.4	112.1	54.6	82.4		19.6	66.7	33.4	44.6

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摇摆实验采用幅值为0.1 rad/s、频率为1 Hz的摇摆输入模拟载机低频姿态摆动，分别测量系统在方位、横滚摇摆及复合摇摆条件下瞄准线的最大抖动量，如表2所示。

表  2  瞄准线摇摆实验结果

Table  2.  Experimental results of line-of-sight swing mrad

次数	传统方法				本方法
	方位	横滚	复合		方位	横滚	复合
1	0.09	13.61	18.96		0.03	3.02	4.15
2	0.08	13.50	19.33		0.03	2.94	3.95
3	0.08	13.53	17.84		0.03	3.03	3.99
4	0.09	13.61	18.33		0.04	3.02	4.01
5	0.09	13.52	19.17		0.03	2.96	4.13
平均值	0.09	13.55	18.73		0.03	2.99	4.05

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通过振动和摇摆实验可以看出，瞄准线方位综合稳定精度均值分别为82.4 μrad和44.6 μrad，本方法比传统方法在振动条件下的稳定精度提升近1倍。将复合摇摆条件下的摆动量均值换算为隔离度，本方法对低频横滚扰动的隔离度统计值由−14.54 dB提升至−27.85 dB，比传统方法具有更佳的隔离性能，验证了本方法在过顶位置时的稳定性。

5   结论

本文从二维陀螺平台的控制原理出发，分析了过顶位置时引起电机轴震荡的主要原因，并通过改进控制结构，提出了基于扰动源分类控制的过顶稳定方法。该方法能够解决过顶位置陀螺噪声被正割补偿放大的问题，同时有效抑制了横滚扰动高频分量引起的电机力矩波动。仿真和实验表明，采用该方法能有效提升瞄准线方位的振动稳定精度和低频摇摆隔离度，增强了瞄准线方位控制的稳定性和抗扰能力。值得注意的是，通过降低前馈通道的滤波频率，能够进一步衰减横滚扰动引起的电机扰动力矩，但在实际工程应用中不应追求过低的滤波频率和电机扰动幅值，这会牺牲系统对横滚扰动低频分量的隔离能力。通常选取系统的临界震荡频率并设置一定裕量，以满足系统在过顶位置的稳定性。