引言

数字全息术是一种重要的成像技术，与传统全息术相比，数字全息具有实验装置简单、抗干扰能力强等优点^[1]。作为数字全息术的一种，相干衍射成像（coherent diffraction imaging，CDI）最初在20世纪60年代被W. Hoppe等人提出用于研究晶体对象的内部结构^[2]。随着计算机技术的发展，Rodenburg等人于2004年提出一种名为“叠层迭代引擎（ptychographical iterative engine，PIE）”的相干衍射成像方法^[3]。然而，在PIE方法中需要知道入射波束的完整复振幅信息，为了解决这一缺陷，2009年，“扩展的叠层迭代引擎（extended ptychographical iterative engine，ePIE）”算法被提出，此算法不需要入射光束完整的复振幅信息，并可以同时重建样品的复振幅透过率信息和入射到样品表面的光束的复振幅^[4]。

太赫兹辐射是频率范围在0.1 THz～10 THz（波长范围为30 μm～3 mm）的电磁波，30多年来，它一直被用于亚毫米级的物体成像^[5-7]。太赫兹波束已被用于二维太赫兹光谱成像、太赫兹调频连续波成像、太赫兹计算断层成像和太赫兹单像素成像^[8-11]中。在这些成像方式中，样品调制的都是太赫兹波束的振幅，因此相位型样品较难被成像。作为数字全息术的一种，叠层成像技术可以获得相位型样品的图像^[12]。随着ePIE算法的发展，已经证明了在X射线、光学和太赫兹频段均可以使用叠层成像技术^[13-15]。ePIE算法不仅可以重构晶体内部结构，还可以用于重建光场分布、图像传输、无染色活细胞成像、大型光学元器件测量和重构超短脉冲^[16-20]。除了透射成像方式外，还有反射式叠层成像系统^[21]。

2018年，Lorenzo Valzania等人首次将ePIE算法应用于太赫兹波段，并且获得了少于2个波长的横向分辨率和小于λ/30的深度分辨率^[15]。2019年，Lu Rong等人提出了一种基于互相关定位的探针位置校正方法，这种校正方法可以将平移误差减小到0.01个像素^[22]。现有的实验系统中，均使用圆形小孔来控制样品表面光斑的位置和尺寸。这种实验装置有2个缺点：第一，样品和小孔之间的距离难以确定，在Lorenzo Valzania的工作中，小孔到物体和从物体到探测器的距离是通过对比不同的仿真来确定的，这样麻烦且耗时；第二，小孔削减了波束的能量，探测器需要更靠近样品才能测得有效信号，上述2个缺点无疑限制了叠层成像技术的应用范围。

为了克服小孔装置所带来的缺点，本文提出了一种新的实验系统，在这套实验系统中，完全抛弃了传统叠层成像中的小孔装置，使用聚焦高斯波束来替代传统小孔产生的波束。通过matlab仿真验证了这种替代的可行性，并且在100 GHz的频段下完成了对相位型样品的叠层成像实验。

1   叠层成像实验系统设计

太赫兹叠层成像系统原理如图1所示。待测样品所处的平面称为xy平面，探测器位于uv平面上，xy平面与uv平面的距离为d。准直的太赫兹波束被聚焦透镜所聚焦，被聚焦的高斯波束称为“探针（probe）”，记录此探针在样品表面处的强度分布p（x）。探针与样品作用后在样品后方距离d处形成一衍射场分布，记录此衍射场的强度分布${I_k}{\rm{(}}{{u}}{\rm{)}}$，k=1，…，D表示探针所在位置。移动样品到下一个位置，同样记录样品后方d处的衍射场强度${I_{k{\rm{ + 1}}}}{\rm{(}}{{u}}{\rm{)}}$，直到探针遍历整个样品。2次样品移动的距离为Δx或Δy，必须保证其小于探针光斑的直径，即2次移动必须保证光斑有所重合，这种信息的冗余，使恢复样品信息和入射光场复振幅分布的完整信息成为可能^[23]。

图  1  太赫兹叠层成像系统原理示意图

FL：聚焦透镜；P：角谱传输

Figure  1.  Schematic diagram of terahertz ptychography system

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记录所有衍射强度后，使用ePIE算法对样品进行还原，定义${{x}} \equiv (x,y)$和${{u}} \equiv (u,v)$，当探针移动到${{{x}}_k}$($k{\rm{ = }}1,\cdots ,D$)处时，令此处样品和探针的复振幅分布分别为${o_k}({{x}})$和${p_k}({{x}})$。探针与样品作用，在样品后方贴近样品表面的“出射场”${\psi _k}({{x}})$为

当满足条件$t \ll Rw/\lambda $时，(1)式的近似才能成立。其中t是样品的厚度；R是成像系统的分辨率；w是出射光斑的大小；λ是太赫兹波的波长^[24]。

使用角谱传输理论，可以得到距离样品后方d处的场分布${\varphi _k}({{u}})$为

式中：$\Im $和${\Im ^{ - 1}}$分别为傅里叶变换和傅里叶逆变换；${f_x}$和${f_y}$为空间频率；j为虚数单位。

使用记录的衍射场的强度${I_k}{\rm{(}}{{u}}{\rm{)}}$替换${\varphi _k}({{u}})$中的振幅强度并保留相位：

式中$\angle $指代相位。

再次使用角谱传输理论，得到xy平面上的场分布为

得到上述数据后，按照下列公式^[4]更新样品和探针的估计值：

式中：$ * $代表复共轭；α和β均为常数，会影响算法的收敛速度，一般设置为0.9。

探针移动到${{{x}}_{k{\rm{ + 1}}}}$处，重复上述步骤，直到探针遍历整个样品，则完成了一次迭代，得到探针的复振幅分布和样品的复振幅透过率。再将得到的结果作为下一次迭代的初值进行下一次的迭代计算。

使用平方和误差(sum squared error, SSE)可以判别ePIE算法的收敛性，在uv平面上SSE的测量公式为

式中N为像素点个数。

重复迭代，直到平方和误差小于固定值或迭代次数达到预设值，即迭代结束。ePIE算法流程图如图2所示。

图  2  ePIE算法流程图

Figure  2.  Flow chart of ePIE algorithm

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2   太赫兹叠层成像仿真实验

为了验证高斯波束是否能作为叠层成像实验的探针，基于实验室现有设备，设计了如下的仿真实验。

仿真实验的频率设置为100 GHz（λ=3 mm），振幅如图3（a1）所示的高斯波束作用在样品表面，此高斯波束的半高全宽（full width at half maximum，FWHM）为10 mm，令此高斯波束在样品表面处的相位分布为如图3（a2）所示的平面。

图  3  以高斯波束作为探针的太赫兹叠层成像仿真参数设置与结果图

Figure  3.  Simulation parameters setting and results of terahertz ptychography using Gaussian beam as probe

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使用相位型样品作为仿真样品。样品设置如图3（a3）所示，在其上设置有3个不同的字母，每个字母根据太赫兹发射源的波长设置不同的相位延迟，“T”、“H”和“Z”的相位延迟分别设置为π/4、π/2和π。

样品与衍射平面之间的距离d设置为50 mm。按照叠层成像实验原理，仿真实验首先记录衍射图像，在此过程中，探针波束的复振幅由图3（a1）所示的振幅和图3（a2）所示的相位共同构成，探针波束与待测样品之间的相互作用可由（1）式描述。作用后的太赫兹波束使用角谱传输理论传输到衍射平面上并被记录下来，每张衍射图像的像素点个数为256×256。探针在x方向和y方向上分别移动了19次和9次，每次移动的距离Δx=Δy=5 mm，最终得到20×10幅衍射强度图像。将这些强度图像和样品表面波束强度作为ePIE算法的输入，按照前文所述ePIE算法原理进行重建计算，迭代次数N设置为30，重建结果如图3（b）所示。

图3（b1）与图3（a1）几乎没有差别，经拟合得到还原出来高斯波束的FWHM为10.16 mm，和原始输入的振幅图像相比，两幅图像的σ_SSE1=4.16%。在图3（b2）的边缘区域可以看到不同程度的震荡，但在中间区域是一块平坦的平面，表明了高斯波束在此区域内的相位是一个平面，与实际的设置相同。在边缘区域，由于高斯波束的振幅分布十分微弱，对成像的贡献较少，因此在衍射图像上就包含了此部分较少的信息，也就是说，这些区域的信息没有被记录下来，因此无法使用算法还原出此区域的相位信息，所以在图像的边缘区域显示不同程度的震荡。由于字母“Z”上的相位延迟为π，因此存在一定的相位缠绕现象，对其进行相位解缠可以得到图3（b3）所示的相位型样品，在图中可以明显地看到“THZ”字样，与图3（a3）相比，两幅图的σ_SSE2=5.32%。

此仿真结果说明了以高斯波束作为探针的太赫兹叠层成像实验是可行的，并且可以对相位型器件和探针波束的复振幅进行还原。此仿真实验分辨出了相位型器件的字母“T”，说明仿真实验的深度分辨率达到了λ/4。下面展开实验验证此仿真结果的有效性。

3   太赫兹叠层成像实验与分析

按照如图4所示的实验装置进行太赫兹叠层成像实验。太赫兹发射源选用美国SPACEK LABS公司生产，型号为GKa-100的耿氏振荡器，发射功率为25 mW，发散角5.7°，可以发射频率为100 GHz（λ=3 mm）的连续太赫兹波。选用肖特基二极管作为太赫兹波束的探测器，其工作的频段为75 GHz～110 GHz，承受的功率应小于100 mW，具有ps量级的响应速度。太赫兹发射源发射出的太赫兹波束被准直为在横截面上具有高斯分布的准直高斯波束，准直透镜为TPX材料所制成的直径为50.8 mm，焦距为50 mm的平凸透镜，准直透镜与太赫兹发射源之间的距离为63 mm。在准直透镜后方112 mm处放置聚焦透镜，将准直的高斯波束聚焦在样品前表面上，聚焦透镜为直径50.8 mm，焦距50 mm，TPX材料所制成的平凸透镜。

图  4  太赫兹叠层成像系统图

Figure  4.  Schematic diagram of terahertz ptychography systemography

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使用三维位移平台控制太赫兹单点探测器，可以检测空间中任意位置处太赫兹波束的强度值，聚焦透镜后方太赫兹波束的强度分布如图5所示，其中零点位于聚焦透镜正后方。样品前表面位于聚焦透镜后方62 mm处，图中红线处为样品前表面所在位置，图5（a）为此处的光斑截面，经过拟合得到此高斯波束的FWHM为17.63 mm。

图  5  聚焦高斯波束的强度分布

Figure  5.  Intensity distribution of focused Gaussian beam

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实验中，为了更好地模拟相位型样品，样品选用聚丙烯（PP）材料，其上用激光刻蚀了“THZ”字样的字母，根据太赫兹发射源的波长与材料折射率，刻蚀不同深度以达到不同的相位延迟。字母“T”的深度为0.74 mm，在100 GHz的频率下，聚丙烯材料的折射率n=1.51，因此对应了π/4的相位延迟，“H”和“Z”的深度分别为1.47 mm和2.94 mm，分别对应了π/2和π的相位延迟。样品与探测面之间的距离d=50 mm，在x方向和y方向上，样品移动的距离Δx=Δy=5 mm，最终扫描共得到20×10幅衍射图像，每幅衍射图像扫描的实际范围为80 mm×80 mm，像素点个数为81×81。将这些衍射图像以及样品前表面处高斯波束的强度图像作为ePIE算法的输入，迭代次数N设置为30次，可以得到如图6所示的结果。

图  6  太赫兹叠层成像实验结果图

Figure  6.  Experimental results of terahertz ptychography

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拟合得到图6（a）中高斯波束的FWHM为14.82 mm，与聚焦透镜后方62 mm处高斯波束的FWHM有一定的差异，造成这种差异的原因可能是实验过程中样品摆放位置并不恰好在透镜后方62 mm处，而在此处前后光斑更小的位置上。

从图6（c）中可以看到“HZ”字样，字母“H”的分辨，说明系统的深度分辨率达到了λ/2，但是与图3（b）的仿真结果相比，具有较大的差异。造成这一结果的可能原因有2个：第一，仿真时没有噪声的干扰，而实验时受限于太赫兹发射源的功率，在样品后方50 mm处的太赫兹信号较弱，探测信号易受到干扰，因此重建图像较为模糊；第二，仿真图像的像素点数为256×256，而实验图像的像素点数为81×81，这种分辨率的降低，也可能是实验结果与仿真结果有所差异的原因之一。

由于高斯波束的行为是先聚焦再发散，而相位型样品对高斯波束也有发散作用，受限于衍射图像的大小，某些衍射信息可能丢失。如果可以使用更高的分辨率，探测更大的范围，理论上可以重建出质量更好的图像。

综上所述，此实验说明了以高斯波束作为探针的叠层成像实验是可行的。此实验系统完全放弃传统小孔结构，并且探测距离增加到了50 mm，使用这种系统，太赫兹叠层成像可能在无损检测、军事探测和生物医学成像方面有更多应用前景。

4   结论

本文根据传统太赫兹叠层成像系统的不足之处做出改进，用聚焦的太赫兹高斯波束替代传统小孔产生的衍射波束作为叠层成像系统的探针，提出一种新型的太赫兹叠层成像实验系统。在100 GHz，探测距离为50 mm的条件下，仿真实验理论深度分辨率达到了λ/4，实际实验系统的深度分辨率为λ/2。首先，实验里重建出样品图像表明了这种替换是可行的；其次，造成仿真与实验有所差异的原因可能是太赫兹发射源的功率较低或衍射图像的分辨率较低。为了在实验中得到效果更好的重建图像，可以采取减小探测距离，增加探测图像分辨率和增大探测图像范围等措施。