Study on characteristics of transmission wavefront of liquid lens
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摘要: 液体透镜是一种新型光学元件，通过改变表面曲率而调整光焦度。液体透镜的透射波前质量会影响成像质量，将液体透镜应用于精密光学系统需要探明其透射波前变化特性。通过理论和仿真分析液体透镜通光孔径内不同高度入射光线的光程差随曲率半径的变化，以及光程差对光焦度的敏感性，以此研究光瞳空间内光程差微变的一致性。分别测量液体透镜在零、正、负光焦度下的透射波前，通过分析实验数据验证液体透镜的光程差微变的一致性。实验结果表明：光程差微变的空间最大差异约为0.22λ～0.36λ，空间分布离散程度约为0.01λ～0.02λ，得出液体透镜随电流微变产生的光程差微变一致性较好，为液体透镜在精密光学系统中的应用和像差补偿提供了技术支撑。Abstract: As a new optical element, the liquid lens provides adjustable optical power by changing the curvature. The transmission wavefront quality of liquid lens will affect the imaging quality. In order to apply liquid lens to precise optical system, it is necessary to investigate its transmission wavefront characteristics. The variation of the optical path difference (OPD) with the curvature radius, and the sensitivity of the OPD to the optical power in different heights of incident light in liquid lens aperture were analyzed by theory and simulation, so as to study the uniformity of slight variation of OPD in pupil. The transmission wavefront of liquid lens in zero, positive and negative optical power was measured. The uniformity of OPD variation of liquid lens was verified by analyzing the experimental data. The experimental results show that the spatial maximum difference of optical path difference variation is about 0.22 λ~0.36 λ, and the dispersion degree of spatial distribution is about 0.01 λ~0.02 λ. The analysis results show that the OPD variation of liquid lens with respect to the minor variation of electrical current has good uniformity, which can provide support for application and aberration compensation of liquid lens in precise optical system.
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Keywords:
- optical measurement /
- liquid lens /
- transmission wavefront /
- optical path difference
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引言
液体透镜是近年来发展的一种新型光学元件，可以不采用任何移动组件，通过改变透镜表面的曲率而调整焦距，具有体积小、寿命长、响应快、重复性好、可连续变焦等优势[1]。液体透镜能大幅度地简化现有变焦系统，为光学设计过程提供了一个全新的自由度。液体透镜自被提出以来，基于不同原理出现了多种类型[2-6]，主要可分为两大类：渐变折射率透镜和变曲率透镜[7-8]。液体透镜目前主要应用于显微成像和相机变焦系统，实现快速对焦和变倍。
液体透镜的波前质量会影响整体光学系统的成像质量。目前的研究大多是测量像差[9-11]，设计固-液组合透镜[12]或将液体透镜与数字图像处理相结合（比如波前编码[13]、分裂透镜的周边孔图案电极补偿波前不对称性[14]）补偿像差，测试焦距变化范围、响应时间等结构性能[15]。但在更精密的使用场景下，比如在移相干涉测量中使用液体透镜移相[16]，由于相移源于液体透镜的表面曲率变化引起的光程差（测量臂与参考臂之间的光程差，optical path difference，OPD）变化，即波前变化，故需探明液体透镜的透射波前变化特性。本文通过理论和仿真分析了典型商品液体透镜光程差随曲率半径的变化，以及光程差对光焦度的敏感性，以研究光瞳空间内光程差微变的一致性，即相移的一致性。利用激光干涉仪通过3种光路分别测量该液体透镜在零、正、负光焦度状态下的透射波前，通过分析实验数据验证光瞳空间内光程差微变的一致性，为液体透镜在移相干涉测量中的应用和像差补偿提供支撑。
1 液体透镜及应用模型
液体透镜通过电磁力挤压包裹有光学液体的囊体，囊体的曲率半径和厚度发生变化，进而引起液体透镜光焦度变化，见图1。该囊体由厚度约50 μm的弹性聚合物膜密封，相对于其他光学元件的面厚度，该膜厚对光路的影响可以忽略。囊体中一个表面只能凸出，另外一个表面保持平面不变，因此液体透镜的光焦度是正的。为了获得正负光焦度的调节，需要一个负透镜（补偿镜）与之组合，下文中称为液体透镜组，其光学参数如表1所示。
表 1 液体透镜组的主要光学指标Table 1. Main optical indexes of series of liquid lens项目 指标 通光孔径/mm 10 光焦度范围/1/m −1.5～3.5 透射率/% >85@400 nm～900 nm 偏振 保持 液体折射率与阿贝数 n=1.3，V=105.34 集成了液体透镜组的移相干涉测量装置部分光路如图2所示。液体透镜组放置于测量臂的物镜与分光镜之间，液体透镜组的光焦度整体变化时，产生变焦与相移功能。选用的物镜为无限共轭，CCD相机放置于管镜的后焦面上，因此只有管镜的入射光线近似平行时被测物体才能清晰成像。
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图 2 基于液体透镜的移相干涉测量装置部分示意图Figure 2. Schematic of part of phase-shifting interferometer based on liquid lens2 液体透镜透射波前的理论分析
2.1 几何光学模型
基于几何光学建立不同高度入射光线的OPD模型[17]，如图3所示。A点为物点，液体透镜的光焦度只有调节到光线平行出射才能清晰成像。因此，需要分析OPD在此时光线状态的微变一致性。
图3中R为液体透镜的曲率半径，H为液体透镜结构的孔径限制，H=5.5 mm，n为液体透镜液体的折射率，n=1.3。由于光线平行出射形成平面波，以图3中的BF平面为基准，OPD可以写为
$$L_{\rm{opd}} = {p_1} + n{p_2}$$ (1) 2.2 波前OPD与光焦度的关系
计算液体透镜不同光焦度时的OPD，如图4（a）所示。从图4（a）可以看出，不同光焦度下波前的OPD产生了变化，并且不同入射高度对应的OPD差异比较大，如光焦度P=3.5/m时整个光瞳的OPD差异约为1.5 mm，而光焦度P=−1.5/m时OPD差异约为2.7 mm，这表明在光瞳空间内OPD存在比较大的不均匀性，此不均匀性源于球面折射面的球差，球差可以被液体透镜配合的负透镜大幅度补偿。相移是液体透镜微变焦前后OPD在时域上的变化，因此实际应用中更关心液体透镜光焦度微变时波前在光瞳空间内变化的均匀性。OPD对于R的导数为
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图 4 OPD及其变化灵敏度与光瞳高度的关系曲线Figure 4. Relationship curves between OPD, variation sensitivity and pupil height$$\frac{{{\rm{d}}L_{\rm{OPD}}}}{{{\rm{d}}R}} = \frac{{\sin \varphi }}{{\sin \theta }} + n\cos \varphi - \frac{{nR}}{{\sqrt {{R^2} - {H^2}} }}$$ (2) （2）式的内涵是，当曲率半径R微小变化时，不同光瞳高度处OPD随R的变化灵敏度。不同光焦度时OPD的变化灵敏度如图4（b）所示。从图4（b）可以看出，当光焦度不同时OPD变化的灵敏度也不相同，其平均值约为3.32，表明R变化1 μm，则OPD变化3.32 μm。光瞳高度不同时OPD变化的灵敏度也有差异，表明当曲率半径微变时，波前在空间上的变化是不均匀的，但此非均匀性较小，光焦度最大时液体透镜边缘与中心OPD变化灵敏度的差异小于2.5%。
2.3 OPD 变化与电流的关系
由于OPD在光瞳内变化的一致性较好，因此以光线沿光轴方向的OPD变化灵敏度进行分析。液体透镜通过电流控制光焦度，最终要明确OPD随电流的变化灵敏度，即：
$$\frac{{{\rm{d}}L_{\rm{OPD}}}}{{{\rm{d}}I}} = \frac{{{\rm{d}}L_{\rm{opd}}}}{{{\rm{d}}R}} \cdot \frac{{{\rm{d}}R}}{{{\rm{d}}P}} \cdot \frac{{{\rm{d}}P}}{{{\rm{d}}I}}$$ (3) 对图3的光线模型进行简化，得到图5所示的光线模型。以负透镜的后表面Q为起点，以液体透镜边缘确定的平面BF为参考，可得到：
$$L_{\rm{OPD}} = {d_{\rm{A}}} + n{d_{\rm{O}}}{\rm{ = }}{d_{\rm{E}}} + (n - 1){d_{\rm{O}}}$$ (4) 式中：dA、dE分别是负透镜后表面与液体透镜前表面的距离、负透镜与液体透镜的边缘距离；dO是液体透镜表面的拱高；P为液体透镜组的光焦度。液体透镜组光焦度与电流之间的关系
$P = kI + {P_0}$ ，k≈22.33 m/A，P0=−1.664 m。则OPD对电流的导数（灵敏度）为$$s = (n - 1)\left( {1 - \frac{R}{{\sqrt {{R^2} - {H^2}} }}} \right) \cdot \left( { - \frac{{{R^2}}}{{n - 1}}} \right) \cdot k$$ (5) OPD及其对电流的灵敏度曲线如图6所示。在液体透镜组的变焦范围内OPD的变化约为0.08 mm，且与电流成较好的线性关系。灵敏度整体在0.34 mm/A～0.347 mm/A之间变化，变化量约为2%，表明在不同光焦度时，相等电流的变化引起的OPD变化近似是相同的。这为不同聚焦深度时的相移提供了良好的实现基础。
3 液体透镜透射波前的仿真分析
为了对液体透镜配合显微物镜实际的成像系统性能进行分析，在光学设计软件Zemax中进行了仿真。仿真中的物镜采用了无限共轭的Lister型10x物镜，其参数如表2所示。将物镜与液体透镜组合，并采用150 mm焦距的理想透镜作为管镜（tube lens），形成了可变焦的显微成像系统，如图7所示。
表 2 10x Lister物镜参数Table 2. Parameters of 10x Lister objective参数 指标 数值孔径 0.22 焦距/mm 15.71 入瞳直径/mm 7 工作距离/mm 4.8 为了研究光瞳内光程（optical path length，OPL）随电流的变化情况，分别选取了3个不同电流情况下，电流每变化0.15 mA光瞳不同高度的OPL。取物面到管镜前的OPL进行计算，得到的OPL如图8所示。随着电流微小增加，液体透镜表面曲率半径减小，光学液体的长度增加，光程随之增大，这与理论分析结论相同。不同电流下，由于成像系统的像差，光瞳不同高度的OPL差异较大，与图4（a）的结论相同，但其形状变化相似。考虑球差补偿后的透射波前，需要考察电流微变下OPL的变化。图9给出了3种不同电流下电流微小变化前后OPL的变化。从图9的ABCD位置的放大图可以看出，电流连续变化下的OPL变化具有非常好的一致性，在亚nm量级。不同电流时的OPL变化的一致性也比较好，全变焦范围仅相差1 nm。不同光瞳高度的OPL微变则有比较明显的差异，变化约1/3。
此外，还要研究OPL微变与电流微变量之间的关系。基于前述结论，加载某一电流时，以中心光线（光瞳高度为零）的OPL微变与电流微变的关系就足以代表整个光瞳内、全变焦范围内的情况。使用Zemax仿真计算，得到加载117.1 mA电流时中心光线的OPL微变与电流微变的关系，如图10所示。OPL微变与电流微变成良好的正比关系，其比例系数为342.87 nm/mA。
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图 10 中心光线OPD与电流微变的关系Figure 10. Relationship between central light OPD and electrical current of micro-ampere variation从上文仿真结果可以得出以下结论：1） 基于液体透镜组的光学成像系统的波前光程变化与电流成良好的线性关系；2） 光瞳不同高度的光程微变的差异较大（约1/3），会造成一定像差，但该差异分布有规律，可以用组合透镜补偿；3） 在特定光焦度时，电流微变引起光瞳空间内波面相位变化的不一致性在亚nm量级，基本可以忽略。
4 液体透镜透射波前的实验分析
利用光源为632.8 nm波长激光的Fizeau型移相干涉仪对液体透镜组进行透射波前测量，为了减少环境振动对实验结果的影响，整个实验装置在气浮台上进行（如图11所示）。
经过实验测试得到电压在5.65 V附近时，液体透镜组处于零光焦度状态。液体透镜组的可调电压范围是5 V～8 V，由于在液体透镜组正负光焦度状态下，电压接近5.65 V时焦距过大，难以搭建光路测量，所以实验取5.05 V，5.15 V，5.65 V，6.25 V，7.05 V，7.85 V共6个控制电压，每个电压下测量10次取平均值。搭建的测量液体透镜组处于零、正、负光焦度时的干涉测量光路[18]示意图如图12所示。其中图12（a）为测量液体透镜组平面状态下的透射波前光路，使用通光口径为150 mm的标准平面参考镜；图12（b）为测量液体透镜组凸面状态下的透射波前光路，使用通光口径为150 mm，F/3.5的标准球面参考镜；图12（c）为测量液体透镜组凹面状态下的透射波前光路，使用通光口径为150 mm，F/7.4的标准球面参考镜。其中，3种参考镜的面形精度均为λ/20，3种光路均使用直径为25 mm，面形精度为λ/4的平面反光镜。由于将OPD微变前后的测量结果作差，故镜面精度带来的波前变化会抵消，对测试结果影响较小。
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图 12 液体透镜组透射波前测量的光路示意图Figure 12. Optical schematics of transmission wavefront measurement在上述6个控制电压下测得的透射波前形状相似，如图13（a）所示（以5.05 V为例）。由图13（a）可知，波前的空间差异较大（最大2λ），这是由于液体透镜组的球差及自身重力引起约0.2λ的彗差[19]。但研究目的在于探究液体透镜的光焦度变化对其波前OPD的影响，归纳的数据是光焦度变化前后波前OPD的差值，从理论上看液体透镜自身重力引起的像差会抵消，实验数据也证实了其对实验结果的影响较小，球差可以被补偿。因此，单个电压下的波前空间差异对实验影响较小。
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图 13 液体透镜组的透射波前及OPD微变Figure 13. Measured transmission wavefront and OPD micro-variation为了研究光瞳空间内OPD微变的一致性，分别在6个控制电压下进行0.01 V的微变，将微变前后测量得到的透射波前图作差，得到透射波前的形变量，即OPD的微变量，如图13（b）所示。不同电压下的OPD微变量分布相似，光瞳空间内靠近光轴处最大，沿径向向外逐渐变小。
为了更加直观对比不同电压下的OPD微变情况，对OPD微变图过光轴作纵截面，得到的变化曲线如图14所示。不同电压下OPD微变曲线的曲率有所差异，表明电压微变时波前在光瞳空间上的变化是不均匀的，但变化形状接近球面，并且差异不超过0.25λ。
此外，还要研究电压连续微变与OPD的关系。以0.01 V为步长分别对6个电压进行连续变化，得到6组数据。比如对5.05 V电压，连续变化测得5.00 V～5.10 V一共11个电压下的透射波前，将11幅波前图逐帧作差，得到10幅OPD微变量分布图，对其余5个电压也做相同处理。求出每一幅OPD微变量分布图的PV值、RMS值和MEAN值，将6组数据绘制成折线图如图15所示，不同线型分别代表液体透镜组的正负光焦度。由图15（a）可知，在整个光焦度可调范围内OPD微变的空间最大差异约为0.22λ～0.36λ（每组取平均值）。由图15（b）可知，在整个光焦度可调范围内OPD微变的空间分布离散程度约为0.01λ～0.02λ（每组取平均值），因此OPD微变的空间一致性较好。由图15（c）的MEAN值可以看出，在整个光焦度可调范围内OPD微变均值为0.10λ～0.18λ（每组取平均值）。
由干涉仪测量得到的波前OPD微变代表的是整体微变的波动部分，以图10为例，实验数据表征的是微变38 nm以上的部分。改变0.01 V电压对液体透镜的作用大约等效于1 mA电流的作用。根据仿真结果可计算出，改变0.01 V电压后波前OPD微变的空间差异最大值为0.18λ，而上述实验结论中OPD微变的PV值为0.22λ～0.36λ。二者基本相符但有轻微差异。该差异可能是源自实验中噪声和气流扰动、电压控制灵敏度与理论值有差异、液体透镜自身重力等因素的影响，可以通过优化实验光路，改进数据处理算法等进一步深入研究。
5 结论
用OPD的变化来表征波前变化，以探明液体透镜的透射波前特性。通过理论分析和仿真可得出，受球差影响，波前OPD微变在光瞳空间内不同高度的差异较大但有一定规律，在全变焦范围内同一高度的差异较小。通过实验验证了上述结论，在全变焦范围内不同电压之间的OPD微变的空间波动差异不超过0.01λ。由于存在实验误差，实验与理论仿真有较小差异，可通过优化光路和算法进行改善。因此液体透镜的波前OPD微变的空间一致性较好，光程与电流成线性关系，灵敏度一致性高，表明相移的一致性较好，为液体透镜在移相干涉测量中的应用和像差补偿提供了技术支撑。
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图 2 基于液体透镜的移相干涉测量装置部分示意图
Figure 2. Schematic of part of phase-shifting interferometer based on liquid lens
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图 4 OPD及其变化灵敏度与光瞳高度的关系曲线
Figure 4. Relationship curves between OPD, variation sensitivity and pupil height
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图 10 中心光线OPD与电流微变的关系
Figure 10. Relationship between central light OPD and electrical current of micro-ampere variation
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图 12 液体透镜组透射波前测量的光路示意图
Figure 12. Optical schematics of transmission wavefront measurement
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图 13 液体透镜组的透射波前及OPD微变
Figure 13. Measured transmission wavefront and OPD micro-variation
表 1 液体透镜组的主要光学指标
Table 1 Main optical indexes of series of liquid lens
项目 指标 通光孔径/mm 10 光焦度范围/1/m −1.5～3.5 透射率/% >85@400 nm～900 nm 偏振 保持 液体折射率与阿贝数 n=1.3，V=105.34 
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表 2 10x Lister物镜参数
Table 2 Parameters of 10x Lister objective
参数 指标 数值孔径 0.22 焦距/mm 15.71 入瞳直径/mm 7 工作距离/mm 4.8
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