Research on detection method of large-aperture aspheric surface by laser tracker
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摘要: 大口径非球面反射镜研磨阶段，在准确测试几何参数的同时，面形也要达到一定的精度要求。利用数值模拟测试过程的方式，评估了使用三坐标测量仪和激光跟踪仪轮廓检测几何参数及面形的精度。针对2 m口径抛物镜的检测指标要求，提出了一种有效的轮廓检测方法。使用4台激光跟踪仪搭建了多边测量系统，采用Levenberg_Marquardt算法进行系统标定，利用新型靶球实现多台跟踪仪对镜面点的同步快速采集，对测试数据进行平差和坐标系转换处理，最终获取几何参数和面形。2 m口径抛物镜研磨完成后进行了测试，顶点曲率半径、非球面系数、面形rms的误差分别为0.16 mm、0.000 6、1.06 μm。Abstract: In the grinding stage of large-aperture aspheric mirror, the geometric parameters should be measured accurately, and the surface shape should also meet certain accuracy requirements. By means of numerical simulation of the test process, the accuracy of measuring geometric parameters and surface shape using three-coordinate measuring machine (3-CMM) and laser tracker was evaluated. An effective contour detection method was proposed to meet the requirements of the detection index of a 2 m-aperture parabolic mirror. Four laser trackers were used to build a multilateral measurement system, the Levenberg_Marquardt algorithm was used to calibrate the system, the new target ball was used to realize the synchronous and rapid acquisition of mirror points by multiple trackers, and the test data were adjusted and coordinate system transformation was processed. Finally, the geometric parameters and surface shape were obtained. After grinding, the 2 m-aperture parabolic mirror was tested. The errors of vertex curvature radius, aspheric coefficient and surface shape RMS are 0.16 mm, 0.000 6 and 1.06 μm, respectively.
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引言
光纤相控阵（optical fiber phased array，OFPA）技术具有扫描速度快、指向精度高、空间分辨率高、大功率激光合成以及多目标探测跟踪等突出优点，特别是利用其电控扫描技术，能够实现探测、搜索、跟踪、通信等多功能一体化系统[1-5]，在大功率激光相干合成等领域有着重要的应用前景[6]。
在OFPA中，出射光束阵列布局对高功率激光相干合成性能有着重要的影响，近年来引起广泛的研究。传统的OFPA阵列布局主要包括方形、等间距多环形以及不等间距多环形等。研究发现，二维方形阵列布局[7]在远场会存在许多栅瓣和旁瓣，从而影响相干合成性能[8]。由于其自身的结构特性，均匀多环形阵列布局在一定程度上提高了能量集中度[9]，压缩了峰值旁瓣电平[10]（peak side lobe level，PSLL），但是仍然会在远场相干合成过程中带来较多的栅瓣以及旁瓣，从而影响能量合成效率。根据OFPA理论，为了获得较好的远场相干合成性能，环间阵元间距应小于光束波长的一半[11]。然而，由于光束波长较短，当前的加工制造技术难以使得环间阵元间距满足上述条件。除此之外，另一种可行的方法是通过形成非均匀阵列布局，以减少栅瓣以及旁瓣对于远场相干合成性能的影响[12]。一般通过改变阵列的填充因子来形成非均匀布局。填充因子定义为阵元束腰半径与阵元间距的比值，填充因子越大，远场相干合成性能相对越好。根据定义，改变填充因子形成非均匀阵列布局，既可以通过优化阵元间距实现，也可以通过改变阵元的束腰半径实现[13]。
非均匀多环形OFPA阵列布局可以通过优化算法实现，目前主要包括基因算法[14]（genetic algorithm，GA）和粒子群优化（particle swarm optimization，PSO）算法[15]。粒子群算法具有较快的搜索速度，搜索性能在一定条件下优于基因算法，因此在优化OFPA环间阵元间距方面具有广泛应用。PSO算法优化多环形阵列[16]能够有效地降低栅瓣以及旁瓣电平，充分体现了PSO算法在曲线阵综合中的优势，相比较于其他传统阵列结构，远场相干合成性能可以得到一定程度的改善。除PSO算法优化环间阵元间距形成非均匀多环形阵列布局之外，人眼视网膜结构本身也是一种非均匀多环形阵列布局，中央凹区域感光细胞密集，外围区域感光细胞稀疏，并且环间细胞尺寸按一定指数由内向外增长，该结构布局具有一定的冗余压缩作用[17]。受这一特性的启发，为了减少OFPA远场相干合成过程中存在的栅瓣以及旁瓣，本文在保持中心阵元以及最外环阵元位置不变的情况下，将类视网膜结构以及PSO算法相结合，设计了一种新型的非均匀多环形OFPA阵列布局。与OFPA的其他传统阵列布局相比，该方法显著降低远场相干合成的栅瓣以及旁瓣，与此同时，在一定程度上提高了能量集中度，压缩了PSLL。
1 类视网膜多环形结构建模
本文提出的类视网膜阵列结构多环形OFPA由M环，每环N个阵元组成，其中，阵元在每个环上等间距排布，并且有一个阵元位于环中心位置。类视网膜多环形[18]OFPA阵列布局如图1所示。假设类视网膜多环形OFPA阵列出射光束束腰半径为
$ {w}_{j} $ （j=0，1，2，…，M），环间阵元间距为$ {d_a}({{a}} = 1,2, \cdots ,{{M}}) $ 。对于只有一个阵元的阵列，m =0。对于m≥1的OFPA阵列，其中1≤n≤mn。第m个环上第n个阵元的坐标（
$ {x}_{mn} $ ，$ {y}_{mn} $ ）可以表示为$$ \left. \begin{array}{l} {x_{mn}} = m{d_a} \cdot \cos \left[ {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)2{\text{π}} }}{{mn}}} \right]\\ {y_{mn}} = m{d_a} \cdot \sin \left[ {\dfrac{{\left( {n - 1} \right)2{\text{π}} }}{{mn}}} \right] \end{array} \right\} $$ (1) 类视网膜多环形OFPA阵列的数量N可以表示为
$$N = 1 + \displaystyle\sum\limits_{m = 0}^M {mn} $$ (2) 类视网膜多环形OFPA阵列布局中的每个阵元的出射光束一般服从高斯分布，输出平面远场分布可表示为
$$\begin{split} E\left( {x,y} \right) = &\displaystyle\sum\limits_{m = 0}^M \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{mn} \displaystyle\sum\limits_{j = 0}^M {A_{mn}}\times \\ &\exp \left[ { - \dfrac{{{{\left( {x - {x_{mn}}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_{mn}}} \right)}^2}}}{{w_j^2}} + {\rm{i}}{\phi _{mn}}} \right] = \\ &\displaystyle\sum\limits_{m = 0}^M {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{mn} {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^M {{A_{mn}}} \exp } } \left( { - \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{w_j^2}} + {\rm{i}}{\phi _{mn}}} \right) * \\ &\delta \left( {x - {x_{mn}},y - {y_{mn}}} \right) \end{split} $$ (3) 式中：
$ {A}_{mn} $ 为出射光束阵元幅度；$ {\phi }_{mn} $ 为出射光束阵元初始相位；*为卷积运算符。根据弗劳恩霍夫衍射理论，远场分布等同于近场分布的傅里叶变换。因此，远场分布E（x，y）可以表示为
$$\begin{split} & E\left( {{f_{{x'}}},{f_{{y'}}}} \right) = \dfrac{{\exp \left( {{\rm{i}}k{{\textit{z}} '}} \right)}}{{{\rm{i}}\lambda {{\textit{z}} '}}}\exp \left[ {{\rm{i}}k\left( {\dfrac{{{x^{'2}} + {y^{'2}}}}{{2{{\textit{z}} ^{'2}}}}} \right)} \right] \times \\ &\quad\quad \displaystyle\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\displaystyle\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {U\left( {x,y} \right)} } \times \exp \left[ { - {\rm{i}}2{\rm{{\text{π}} }}\left( {{f_{{x'}}} \cdot x + {f_{{y'}}} \cdot y} \right)} \right]{\rm{d}}x{\rm{d}}y \\[-10pt] \end{split}$$ (4) 将（3）式代入（4）式可得：
$$\begin{split} E\left( {{f_{{x'}}},{f_{{y'}}}} \right) =& \dfrac{{\exp \left( {{\rm{i}}k{{\textit{z}} '}} \right)}}{{{\rm{i}}\lambda {{\textit{z}} '}}}\exp \left[ {{\rm{i}}k\left( {\dfrac{{{x^{'2}} + {y^{'2}}}}{{2{{\textit{z}} ^{'2}}}}} \right)} \right] \times \\ & \displaystyle\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \displaystyle\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \displaystyle\sum\limits_{m = 0}^M {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{mn} {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^M {{A_{mn}}} \exp } } \left( { - \dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{w_j^2}} + {\rm{i}}{\phi _{mn}}} \right) * \\ &\delta \left( {x - {x_{mn}},y - {y_{mn}}} \right)\\[-12pt] \end{split}$$ (5) 式中：（x，y）是输出平面的坐标；（
$ {x}' $ ，$ {y}' $ ）是远场观察平面的坐标；${f_{x'}} \approx {\theta _x}/{\rm{\lambda }}$ 以及$ {f_{y'}} \approx {\theta _y}/{\rm{\lambda }} $ 是空间频率。省略常数项，类视网膜多环形OFPA阵列布局的远场光强度分布可表示为
$$\begin{split} I\left( {{\theta _x},{\theta _y}} \right) = & {\left| {E\left( {{\theta _x},{\theta _y}} \right)} \right|^2}\propto \\ & {\left| {\displaystyle\sum\limits_{m = 0}^M {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{mn} {{A_{mn}}\exp \left\{ {{\rm{i}}\left[ {k\left( {{x_{mn}}{\theta _x} + {y_{mn}}{\theta _y}} \right) - {\phi _{mn}}} \right]} \right\}} } } \right|^2} \times\\ & \displaystyle\sum\limits_{j = 0}^M {\exp \left[ { - \dfrac{{{k^2}w_j^2}}{2}\left( {\theta _x^2 + \theta _y^2} \right)} \right]} \\[-23pt] \end{split} $$ (6) 式中k是波矢。
2 类视网膜多环形结构优化
为了有效抑制远场合成过程中存在的栅瓣以及旁瓣，应用优化算法搜索理想的阵元分布。其中最为常用的是基因算法和粒子群算法。它们都随机初始化相控阵阵列，使用评估函数来衡量阵元个体的优缺点，并基于从评估函数获得的自适应值执行一定的随机搜索。但是，基因算法有交叉、变异等操作，计算复杂度相对较高，并且很难利用阵元个体在解空间中的随机速度来改变搜索进程，因此，不具有较强的随机性。然而，粒子群算法具有较快的搜索速度，并且在搜索性能以及计算复杂度上优于基因算法[19]。因此，本文采用PSO算法优化环间阵元间距，优化多环形OFPA环间阵元间距的PSO算法流程图如图2所示。
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图 2 多环形OFPA环间阵元间距的PSO算法流程图Figure 2. Flow chart of PSO algorithm for multi-rings OFPA inter-ring array spacing3 仿真结果与分析
3.1 仿真设置
为了研究本文提出的PSO算法优化类视网膜多环形OFPA阵列布局的远场相干合成性能，进行相应的数值模拟仿真。设置关键参数如下：阵元总体数量N = 79，初始惯性权重系数
$ \omega =0.9 $ ，然后逐渐收敛至0.4[20]，阵元加速常数$ {c}_{1}={c}_{2}=2 $ ，阵元速度变化区间$ {v_{{\rm{max}}}}=0.01 $ ，$ {v_{{\rm{min}}}}=-0.01 $ ，发射光波长（$ {\rm{\lambda }} $ ）设置为当前OFPA技术最常用的1.064 μm波长。在均匀间距多环形阵列以及PSO算法优化多环形阵列中，将束腰半径w设置为1.20 μm，因此，79阵元总的束腰半径为94.8 μm。为了确保总的束腰半径不变，在类视网膜多环形阵列布局中，将中间环（第3环）的束腰半径设置为1.20 μm，环间增长系数q为1.02。因此，设置各环束腰半径数值如表1所示。类视网膜多环形OFPA阵列的总束腰半径为95.64 μm，与均匀间距多环形阵列以及PSO算法优化多环形阵列相比，总束腰半径几乎没有变化。此外，将初始环间阵元间距设置为d = 4.8 μm。然后，在中心阵元以及最外环阵元位置不变的情况下，使用PSO算法优化其他环间阵元间距。为确保优化的OFPA是圆形对称的，仅优化相邻环之间的间隔，每环中的阵元仍然均匀分布。表 1 各环阵元束腰半径数值Table 1. Value of waist radius of each ring array element束腰半径 $ {{w}}_{0} $ $ {{w}}_{1} $ $ {{w}}_{2} $ $ {{w}}_{3} $ $ {{w}}_{4} $ $ {{w}}_{5} $ $ {{w}}_{6} $ 取值/μm 1.13 1.15 1.18 1.20 1.22 1.25 1.27 3.2 结果对比分析
根据上述仿真设置，分别对5种不同的OFPA阵列布局进行远场相干合成性能仿真，仿真结果如图3所示。评价参数对比如表2所示。可以看出，本文提出的方法在性能上相对传统方法有明显提升，其中，能量集中度具有一定程度的提高，峰值旁瓣电平也有较好的压缩，具体表现在以下2个方面。1） 能量集中度方面，传统方形阵列结构为0.562，如图3（a）所示；普通的多环形阵列结构相对有所提高，能量集中度为0.697，如图3（b）所示；PSO算法优化多环形阵列结构，能量集中度为0.803，如图3（c）所示；单一的类视网膜多环形阵列结构，能量集中度为0.809，如图3（d）所示；本文提出的阵列结构如图3（e）所示，相比前者，在能量集中度方面分别提升了0.359、0.224、0.118、0.112。可以看出，相比较于方形阵列，均匀多环形阵列由于自身的环形对称结构，远场相干合成所含的栅瓣以及旁瓣相对较少，能量集中度已有较大的提升。一方面，在此基础上，利用粒子群算法优化，改变环间阵元间距形成非均匀阵列布局，能量集中度有进一步的提升；另一方面，改变环间阵元束腰半径形成的单一类视网膜多环形阵列结构，相比较传统均匀多环形阵列布局，在能量集中度方面也有一定程度的提高；最后，本文提出的将粒子群优化算法与类视网膜阵列结构两者进行结合形成的新型非均匀阵列结构，相比其他几种传统的阵列结构，能够显著提升远场相干合成的能量集中度。从能量集中度方面的提升趋势可以看出，PSO算法优化类视网膜多环形阵列相比较于方形阵列结构，能量集中度提升最大，均匀多环形阵列结构次之，PSO算法优化多环形阵列结构和单一类视网膜多环形阵列结构远场相干合成能量集中度接近，对比前两种传统阵列结构提升相对较小，从而验证了本文所提方法的可行性。2） PSLL方面，前4种阵列布局分别为0.212，0.153，0.111，0.097，本文提出的PSO算法优化类视网膜多环形阵列为0.043，相比前4种阵列布局，在PSLL方面分别压缩了0.169、0.11、0.075、0.069。同样，与能量集中度类似，PSO算法优化类视网膜多环形阵列相对于其他几种传统阵列布局，在PSLL方面也有较大幅度的压缩，从而在仿真层面也验证了本文方法的优越性。
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图 3 5种不同OFPA阵列布局及其归一化强度的仿真Figure 3. Simulation of five different OFPA array layouts and normalized intensity表 2 5种不同OFPA阵列布局评价参数对比Table 2. Comparison of evaluation parameters for five different OFPA array layouts阵列布局评价参数 能量集中度 PSLL 方形阵列 0.562 0.212 多环形阵列 0.697 0.153 PSO算法优化多环形阵列 0.803 0.111 类视网膜多环形阵列 0.809 0.097 PSO算法优化类视网膜多环形阵列 0.921 0.043 通过PSO算法优化后，类视网膜多环形OFPA环间阵元间距分别为5.58 μm、4.17 μm、5.69 μm、4.35 μm、4.33 μm以及4.69 μm，分布如图4所示。
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图 4 PSO算法优化后，类视网膜多环形OFPA环间阵元分布Figure 4. Distribution of retina-like multi-rings OFPA inter-ring array element after optimization by PSO algorithm4 结论
本文提出了一种类视网膜结构阵列布局的OFPA，在保持中心阵元以及最外环阵元位置不变的情况下，利用粒子群优化算法优化其他环间阵元间距，使得这种新型的非均匀间距阵元布局打破了光束波长的限制。与传统的OFPA阵列布局相比，PSO算法优化后的类视网膜多环形OFPA阵列布局在一定程度上减少了远场合成过程中产生的栅瓣以及旁瓣，与此同时，提高了能量集中度，压缩了PSLL，该方法可为提升光束相干合成性能提供指导，有利于其在诸如激光通信、激光雷达等领域的应用。
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图 3 2 m抛物镜干涉测量结果
Figure 3. Testing results of laser interferometry of 2 m parabolic mirror
表 1 2 m抛物镜轮廓测试精度分析
Table 1 Accuracy analysis of 2 m parabolic mirror contour detection
测试仪器 测量精度 面形精度 几何参数精度 rms/mm R/mm e2 离轴量/mm CMM 0.6 m+5/3 μm/m 5.57e-4 0.036 1.4e-4 0.07 CMM 1.95 μm+3 μm/m 0.001 1 0.070 2.6e-4 0.12 激光跟踪仪 15 μm+6 μm/m 0.005 0 0.322 1.2e-3 0.48 
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表 2 多边法进行2 m抛物镜轮廓测量精度分析
Table 2 Accuracy analysis of 2 m parabolic mirror contour detection by multilateral method
测量精度/μm/m 面形精度/mm 几何参数精度 rms PV R e2 离轴量 0.5 0.001 8 0.005 4 0.255 8.0e-4 0.32 mm
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表 3 多边法测试结果
Table 3 Testing results of multilateral method
系统标定数据（站位坐标）/mm 镜面几何参数与面形 1号 2号 3号 4号 R/mm e2 rms/μm 离轴量/mm （0，0，0） （4 014.44，0，0） （690.05，1 881.41，0） （2 633.75，−2 356.20，80.88） −6 830.12 0.999 9 2.669 0.35
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