Simulation and verification of longitudinal chromatic aberration for optical system
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摘要: 现有的焦距检测方法通常由于检测仪器光源波长与光学系统不完全匹配从而产生纵向色差影响检测结果。针对这一问题，研究光学系统纵向色差的变化规律，并确定在400 nm～1 000 nm波段用于表示其函数关系的Conrady公式和复消色差特性公式。根据光学系统近焦位置的离焦量与位置呈线性关系的特性, 提出使用菲索干涉仪测量5种不同波长的焦距位置，获得单透镜和双胶合镜头的纵向色差曲线。实验结果表明: 在400 nm～1 000 nm波段单色系统和消色差系统的纵向色差的函数关系分别符合Conrady公式和复消色差特性公式，研究结果为焦距的理论计算和精确检测提供了新的思路和参考。Abstract: In ordinary focal length measurement, the measurement accuracy is usually affected by the longitudinal chromatic aberration because of the different design wavelengths between the optical system and the testing equipment. In order to solve this problem, the variation rule of longitudinal chromatic aberration for optical system was established, and the Conrady formula and apochromatic characteristic formula used to express the functional relationship of longitudinal chromatic aberration in the 400 nm~1 000 nm wavelength were determined. According to the linear relationship characteristic of the optical system between defocus amount of near-focus and position, the focal length position at 5 different wavelengths was measured by using Fizeau interferometer to obtain the longitudinal chromatic aberration curve of the single lens and the double cemented lens. Experimental results show that the longitudinal chromatic aberration function relationship of the monochromatic system complies with the Conrady formula, and the longitudinal chromatic aberration function relationship of the achromatic system matches the achromatic characteristic formula in the 400 nm~1 000 nm wavelength. The research provides new ways and references for the theoretical calculation and accurate detection of focal length.
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引言
激光二极管阵列泵浦的纳秒脉冲激光器已经广泛应用于工业、军事和科研等领域，尤其在军事领域应用更是广泛。军事领域主要应用于激光制导、激光测距、激光雷达和激光指示等方面，同时对激光器提出了严苛的高低温、环境适应性以及质量功耗方面的要求[1-4]。2015年，延新杰等采用电光调Q、多级放大、电控偏振态切换技术实现100 Hz、750 mJ@1 064 nm的激光输出[5]。2016年，中科院光电研究院报道了全固态大能量固体激光器样机，输出能量3 J，重复频率100 Hz，该激光器采用种子振荡-功率放大(MOPA)的技术路线。工作频率为100 Hz、单脉冲能量为10 μJ的单纵模种子激光经过Φ3 mm放大模块2级双程放大，随后经过2个串联的Φ6.35 mm放大模块双程放大，再经过2个串联的Φ10 mm放大模块双程放大，光束1:1分束后分别经过2个串联的Φ15 mm放大模块单程放大，最后通过偏振合束获得了3.36 J能量的稳定输出。实测输出激光的光束口径为Φ14 mm，脉冲宽度为7.1 ns，光束质量为1.7倍衍射极限，能量稳定性(PV)为4.74%[6]。同年，中科院光电研究院樊仲维，邱基斯，唐熊忻等人优化参数，在重复频率100 Hz，种子光注入10.73 μJ的条件下，实现了3.31 J能量输出，脉冲宽度4.58 ns，远场光束质量为2.12倍衍射极限，能量稳定性（RMS）为0.87%[7]。2017年，Li Chaoyang 等在100 Hz重复频率下，实现了谐振腔脉冲能量为185 mJ，脉宽10.7 ns，光束质量为2.31的激光输出[8]。2018年，中国工程物理研究院应用电子研究所靳全伟、庞毓等人采用大模体积腔+渐变反射率输出镜技术，在500 Hz条件下，实现能量140 mJ，脉宽17.76 ns的1 064 nm激光输出，激光光束质量达到了1.6[9]。上述激光器根据应用背景不同，研究的侧重点不同，目前对军用激光二极管阵列泵浦的纳秒脉冲全固态激光器的研究聚焦在以下3个方面：1） 追求大的脉冲能量；2） 追求较高的重频；3） 追求小型化，实现较高的能量质量比，尤其对于机载产品更是苛求体积与质量。然而，增加脉冲能量，提高重复频率，势必会大大增加泵浦功率，从而增加全固态结构的散热压力，导致激光晶体热效应严重，同时结构组件也会有明显的热致形变[10-14]。本文旨在研究一种方法，在有效体积质量条件下，实现百赫兹百毫焦纳秒脉冲激光输出，满足军用产品对激光器的体积质量以及功耗的苛刻要求，尤其针对机载产品。采用2路50 Hz激光，进行偏振合束，实现百赫兹激光的输出。设计时序控制电路，实现2台相同重复频率的激光器发射的激光脉冲同轴等间隔分时输出，从而完成激光重复频率的叠加提升。利用固体激光器电光调Q的线偏振特性，基于偏振分光器件对于不同方向线偏振光的透反特性，实现2束垂直偏振方向的线偏振激光的同轴合束输出；再通过对电光晶体进行时序加退电压控制来改变其中一路输出激光的线偏振方向，最终完成合束后激光偏振方向一致。此外，普通偏振合束在非相干输入情况下，仅完成2束激光合成，通过调节偏振态时序控制，可以实现多级多束激光合成，本文的测试结果也验证了多束激光基于时序偏振态控制合束的可行性。
1 百赫兹百毫焦激光设计
1.1 激光泵浦功率配置设计
激光器输出能量转换主要依赖于泵浦源辐射功率、泵浦系统效率、工作物质吸收泵浦光并传送到泵浦上能级的效率、工作物质的量子效率以及谐振腔提取效率等。
泵浦源采用激光二极管阵列，根据指标要求的百毫焦激光输出，依据前期数据积累，泵浦系统效率取值70%，工作物质吸收泵浦光并传送到泵浦上能级的效率为80%，工作物质的量子效率为76%，谐振腔提取效率为20%。计算出本方案激光器的总体光光效率为8.512%，选取激光二极管列阵以额定功率的80%工作，电流脉宽在230 μs的情况下，实现百毫焦激光输出，泵浦光的功率不低于5 115 W，额定功率为6 393 W，一般的单条激光二极管阵列的输出功率为200 W，其电光效率一般为55%左右。因此选取大约32个bar的激光二极管阵列作为泵浦源。
1.2 激光谐振腔设计
为了保证激光光束质量和束散角指标，选取正分支共焦非稳激光谐振腔进行有效的光束质量控制。调Q方式采用主动电光调Q技术，其具备良好的开关能力，能够保证激光器的光光效率[15]，同时样机输出光束质量等激光参数也较优，为后期激光器应用打下了良好的技术基础。图1为激光谐振腔示意图。
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图 1 正分支共焦非稳激光谐振腔示意图Figure 1. Schematic diagram of positive branch confocal unstable laser resonator这里振荡级采用的输出镜为变反射率的超高斯输出镜，采用这种非稳腔结构具有以下4个优点：1） 利用几何光学方法可全面地分析高斯非稳腔内的模式分布；2） 可获得用于谐振腔腔镜设计的有效公式；3） 变反射率的超高斯透过率空间分布，综合了变反射率高斯镜与硬边镜的优点，光滑的透过率变化曲率可以有效消除硬片镜带来的衍射环，有效增大激光谐振腔模体积，获得较高输出效率的高光束质量激光；4） 变反射率的超高斯输出镜比高斯输出镜在镀膜工艺上更易实现。
根据激光相关指标要求，同时兼顾样机尺寸要求，确定谐振腔几何腔长L0和谐振腔放大率M。设li和ni分别为谐振腔内光学元件的几何长度和激光波段对应的折射率，那么该激光谐振腔的有效腔长L为
$$ L = {L_0}{{ - }}\sum\limits_i {{l_i}\left(1 - \frac{1}{{{n_i}}}\right)} $$ (1) 同时凸面输出镜的曲率半径R1与凹面全反镜曲率半径R2由(2)式确定：
$$ {R_1} = \frac{{{{ - }}2L}}{{M{{ - }}1}} $$ $$ {R_2} = \frac{{2ML}}{{M{{ - }}1}} $$ (2) 设定谐振腔几何腔长L0为207.05 mm，谐振腔放大率M为1.828 2。将腔内各光学元件的长度和折射率代入公式，得到谐振腔有效长度L=283.59 mm，计算凸面输出镜曲率半径R1=−500 mm，凹面全反射镜曲率半径R2＝914.1 mm。
1.3 双激光谐振腔分时工作设计
针对项目所需激光参数、技术状态、约束条件等进行设计思想的建立。选用纳秒、百毫焦级固体激光器作为主要技术方案进行设计。本激光器采用2路50 Hz固体脉冲激光器通过时序偏振态控制的激光重频提升技术，形成100 Hz脉冲激光输出。此项技术的基本原理是：利用偏振分光组件对于不同方向线偏振光的透反特性，以及Nd:YAG（neodymium-doped yttrium aluminum garnet）电光调Q脉冲激光器良好的线偏振度激光，进行多束脉冲激光的合束，并通过对电光晶体进行快速加压推压控制，完成单束激光的偏振方向转置，从而控制该束激光的通过情况。设计时序控制电路，实现各台激光器发射的激光脉冲同轴等间隔分时输出，从而完成激光重复频率的提升。该项技术的应用，可以在不改变激光光束质量以及单脉冲能量的情况下，使发射激光的重复频率倍增，从而使发射激光的平均功率倍增。
根据偏振分光组件的透反特性，2路偏振方向不同的线偏脉冲激光可在偏振分光组件处合成1束，通过时序控制2路脉冲激光的输出光，使得2路激光脉冲等间隔交替发射，即可获得激光重频的2倍提升。在本方案中，2路脉冲激光重频均为50 Hz，偏振光路合成并时序控制脉冲交替发射后，则变成同轴的100 Hz脉冲激光。
为了适应后续系统对输出激光偏振态的要求，本方案还需对重频合成后的激光进行偏振态的统一化转置。在合束偏振棱镜后设置电光晶体，对电光晶体进行时序的半波电压的加压退压控制，对2路偏振激光中的某一路进行偏振态的转置，使其与另一路偏振态一致，从而形成了1束线偏振的100 Hz脉冲激光。图2为百赫兹百毫焦纳秒全固态激光器光学示意图。
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图 2 百赫兹百毫焦纳秒全固态激光器光学示意图Figure 2. Schematic diagram of hundred hertz and hundred millijoules all-solid-state nanosecond laser1.4 分布式阵列温度控制设计
激光二极管阵列泵浦激光器的一个重要设计环节就是激光二极管阵列的高效率、高精度温度控制技术。根据战术技术指标的要求，设计激光二极管阵列为单温度点阵列，即在阵列温度工作温度点时其发射光谱为808 nm。具体的温控方案采用TEC（thermoelectric cooler）与散热片组合的方式进行。温度控制电路采用基于PID（proportional integral differential）算法的温度控制程序，能够将阵列温度控制精度提高到±1 ℃以内。而阵列温度控制精度主要由Nd:YAG的吸收光谱宽度决定。侧面泵浦Nd:YAG的吸收宽度基本上在1.5 nm左右，再根据激光二极管阵列的温漂系数0.28 nm/℃，得到可接受温度变化范围±2.69 ℃。考虑到冗余设计和吸收效率，只需要将激光二极管阵列温控精度控制在±2 ℃内，而设计的温控方案完全满足该要求。
系统总共有4个需要温控的激光单元，每个激光单元都有2个泵浦模块。通过计算，得到每个激光单元的激光二极管阵列的发热功率为51.75 W，则每个泵浦模块的激光二极管阵列的最大发热功率为25.88 W。综合TEC尺寸及其电压电流，选择最大制冷功率为21 W，电流相对较小，型号为20013/071/040B的TEC，2个串联做为激光器单面的激光二极管阵列的制冷器件。因此，需要8路阵列温控电路，电路与系统的连接如图3所示。
1.5 百赫兹百毫焦纳秒脉冲激光器控制时序设计
百赫兹百毫焦纳秒全固态激光器主要是由4路最高频率为25 Hz的激光二极管泵浦的激光器组成，其中2个25 Hz激光单元共用谐振腔，其频率可从1 Hz～100 Hz变化。因此，要实现1 Hz～100 Hz的频率可调的功能，则需要控制好触发4路激光器的时序，将输入的触发信号4分频后，分成4路触发信号（上升沿触发），并且相邻2个触发信号间的间隔相同，其值为输入的触发信号的周期，最后将这4路信号分别给4路激光器做为触发信号，控制时序图如图4所示。
考虑到4路激光器还需要调Q触发信号，而激光器1与激光器3共用一个电光调Q晶体Q1，激光器2与激光器4共用一个电光调Q晶体Q2。所以如图3所示，将激光器1调Q触发信号和激光器3调Q触发信号连接到一个或门的输入，或门的输出连接调Q1电路，即输出信号做为Q1触发信号；同理，将激光器2调Q触发信号和激光器4调Q触发信号连接到一个或门的输入，或门的输出连接调Q2电路，即输出信号做为Q2触发信号。同时，4路激光器的输出需要经过偏振Q3晶体，该晶体也需要上升沿触发信号，其工作时序如图4所示。当激光器1或激光器3工作时，不触发Q3，当激光器2或激光器4工作时，输出偏振Q3触发信号，触发其工作。由于调Q或偏振Q触发信号需要相对于激光器的触发信号有一个微秒级的延时，所以为实现此功能，使用STM32微控制器上的定时器的外部触发，OnePulse PWM输出模式。激光器的触发信号做为定时器输入触发信号，定时器输出触发信号做为调Q或者偏振Q触发信号，2者之间的延时d或者t可以通过配置STM32微控制器进行调整。一般来说，d比t略大，具体根据试验效果而定。
2 测试结果
基于上述设计，开展了光机电设计、加工、装配与调试，最终完成了百赫兹百毫焦纳秒脉冲全固态激光器样机，一体化样机质量仅15.5 kg。按照GB/T 15175—2012规定的方法，对激光器的输出能量及其稳定性、脉冲宽度、光束质量进行了测量[16]。图5和图6为样机近场光斑、束散角光斑和脉冲宽度测试照片。在工作频率100 Hz时，输出激光平均能量112 mJ，能量稳定性优于±9%，脉冲宽度约10.8 ns，光束质量达到了11 mm·mrad。
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图 5 百赫兹百毫焦激光器近场光斑和束散角光斑Figure 5. Near-field spot and beam divergence angle spot of hundred hertz and hundred millijoules laser![]()
图 6 百赫兹百毫焦激光器脉宽和激光能量及其稳定性测试照片Figure 6. Test of pulse width, laser energy and stability of hundred hertz and hundred millijoules laser3 结论
本文基于谐振腔内分时双泵浦共用调Q方式，通过偏振合束和偏振转换，实现了一束偏振态一致的高光束质量的百赫兹百毫焦纳秒脉冲激光输出。设计的样机及测试结果可以满足多目标和伪随机编码激光半主动末制导，以及快速目标测距对激光光源的需求。
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图 1 测量离焦位置的透射波前确定焦点位置原理
Figure 1. Focus determination by measuring transmitted wavefront of defocus position
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图 2 单色系统结构图与色焦移曲线
Figure 2. Monochromatic system structure and chromatic focal shift curve
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图 3 单色系统焦距-波长仿真曲线与Conrady公式求解曲线对比
Figure 3. Comparison of focal length wavelength simulation curve for monochromatic system with Conrady formula solution curve
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图 4 双高斯系统结构图与色焦移曲线图
Figure 4. Double Gauss system structure and chromatic focal shift curve
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图 5 双高斯系统的焦距-波长曲线与Conrady公式求解曲线对比
Figure 5. Comparison of focal length-wavelength curve for double Gauss system with Conrady formula solution curve
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图 6 确定复消色差特性公式幂级数系数范围流程图
Figure 6. Flow chart of determination of power series range for apochromatic characteristic formula
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图 7 双高斯系统的焦距-波长曲线与复消色差特性公式求解曲线对比
Figure 7. Comparison of focal length-wavelength curve for double Gauss system with apochromatic characteristic formula solution curve
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图 8 望远系统结构图和色焦移曲线
Figure 8. Telescopic system structure and chromatic focal shift curve
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图 9 望远系统焦距-波长曲线与求解复消色差特性公式曲线对比
Figure 9. Comparison of focal length-wavelength curve for telescopic system with apochromatic characteristic formula solution curve
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图 12 单色系统的Z3系数与位置曲线图
Figure 12. Curve of Z3 coefficient for monochrome system and position
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图 13 Conrady公式求解的单透镜后截距-波长曲线和数据残差图
Figure 13. Conrady formula solution curve of single lens and residual curve
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图 14 消色差系统Z3系数与位置的曲线图
Figure 14. Curve of Z3 coefficient for achromatic system and position
表 1 计算得到各波长焦点位置数据
Table 1 Focal position data of each wavelength
波长/nm 532 561 632.8 671 721 计算的后截距/mm 8.994 9.214 9.716 9.952 10.226 
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表 2 计算得到的各波长焦点位置
Table 2 Focal position of each wavelength
波长/nm 532 561 632.8 671 721 计算的后截距/mm 10.556 10.542 10.552 10.578 10.638
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1. 胡滨. 色彩要素在舞台灯光设计中的应用. 传媒论坛. 2021(06): 169-170 . 
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