Calculating MTF of Kirkpatrick-Baez system by wave aberration theory
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摘要: 调制传递函数（modulation transfer function，MTF）曲线可以客观地评价光学系统的成像性能。基于平面对称光学系统的波像差理论，给出了Kirkpatrick-Baez（KB）显微镜光学系统主要像差的波像差计算表达式，采用自相关法，通过Gauss-Legendre数值积分求解并绘制了KB系统的MTF曲线，且与光学分析软件的MTF曲线进行对比。结果表明：应用波像差理论计算调制传递函数不仅可以定量直观地分析KB系统的成像性能，而且能进一步解析光学系统的单项像差分布情况，提供更具针对性的系统优化方案。
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关键词:
- 调制传递函数 /
- 波像差理论 /
- Kirkpatrick-Baez系统
Abstract: The modulation transfer function(MTF) can objectively evaluate the imaging performance of optical system. Based on the theory of wave aberration of plane symmetric optical system, the wave aberration expression of main aberration of Kirkpatrick-Baez(KB) microscope optical system was given. By using the autocorrelation method, the MTF curve of the KB system was obtained by the Gauss-Legendre numerical integration, and then compared with the MTF curve of the optical analysis software. The results show that calculating the MTF by wave aberration theory can not only quantificationally and intuitively analyze the imaging performance of KB system, but further analyze the single aberration distribution of optical system. The application of this theory can provide a more effective targeted optimization scheme for KB system. -
引言
当X射线在大角度掠入射的条件下照射光滑的元件表面时，会发生反射率骤增并产生全外反射现象[1]，KB（Kirkpatrick-Baez）系统便是基于此原理发展而成。该系统由2个主平面互相正交的球面镜元件组成，作为软X射线真空紫外（XUV）正交光学系统的重要应用之一[2]，近年来广泛应用于激光等离子体诊断技术领域。
KB系统成像特点是物方射出的光束以极大入射角度（几乎达到90°）掠入射至元件表面，光束经过整个KB系统后，其光束的聚焦位置在弧矢方向和子午方向上完全不重合，波阵面形也严重偏离球面，具备平面对称光学系统的特性。极大角度掠入射系统的像差非常严重，传统的光学理论及赛德尔像差分析均无法适用于该系统[3-7]。
上海大学吕丽军教授研究了平面对称光学系统波像差理论，该理论可应用于一般折、反射光学系统光束非常入射情况下的波像差分析，被灵活应用于大视场光学系统及非球面镜的研究中[8]。该理论为KB系统提供了一种波像差计算方法，不必应用抽样光线计算方法便可获得出瞳面上的波像差系数分布[9-10]。KB系统拥有极小视场、极小孔径、极大角度掠入射等特性，因此运用三阶像差理论进行分析具有令人满意的计算结果。本文应用吕丽军的像差理论和OTF自相关计算法，采用8节点Gauss-Legendre积分法求解自相关积分，导出KB系统物理OTF的自相关积分表达式[11]，对此类光学系统的设计和优化起到指导作用。
1 波像差理论
1.1 KB系统波像差表达式
吕丽军发展的一维视场光源的平面对称光学系统三阶像差理论提供了适用于包含各种面形的反射镜光学系统像差计算方法。该理论将系统作为整体来分析，提出了以超环面[9]定义参考波阵面，从而能够精准记录KB系统子午面和弧矢面内完全不一致的聚焦位置，适合分析KB系统这类光学元件在子午和弧矢平面内聚焦有严重耦合作用的光学系统的像差，且能够为KB系统的各类像差建立独立的解析表达式，KB系统原理如图1所示。
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图 1 双元件球面KB系统的理想光路图Figure 1. Optical path of KB system with double-element spherical surface光学系统总波像差是光学系统中各个光学元件的波像差之和[9]。KB系统的四阶波像差可表示为[12]
$${\bar W} = \sum\limits_{ijk}^4 {{{\tilde w}_{ijk\left( 1 \right)}}{{x'}}_{01}^{i}{{y'}}_{01}^{j}u_1^k} + \sum\limits_{ijk}^4 {{{\tilde w}_{ijk\left( 2 \right)}}{{x'}}_{02}^{i}{{y'}}_{02}^{j}u_2^k} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$$ (1) 式中：
${\tilde w_{ijk}}$ 为KB系统元件出射波阵面上的波像差；${{x'}_{0i}}$ 和${y'}_{0i}$ 为各元件出射波阵面上的坐标；u1、u2为元件各自的视场角。对于KB系统，平面位置相当于焦平面产生偏离产生离焦像差影响的情况，使用元件M1在子午和弧矢上的视场角u1和v1以及M2的出射波阵面坐标进行计算会比较简洁，故（1）式可转化为$$ \bar W = \sum\limits_{ijk}^4 {{A^i}{B^j}{{\tilde w}_{ijk\left( 1 \right)}}{x'}_{0{\rm{2}}}^i{y'}_{0{\rm{2}}}^ju_1^k} + \sum\limits_{ijk}^4 {{C^k}{{\tilde w}_{ijk\left( 2 \right)}}{x'}_{02}^i{y'}_{02}^jv_{\rm{1}}^k} \;\;\;\; $$ (2) 式中：A、B、C为KB系统孔径光线在元件1出射波阵面和元件2出射波阵面之间的坐标传输方程参数，其中，
$$ \quad A = \frac{{{{r'}_{m1}}}}{{{r_{s2}}}},\;\;\;\;\;\;B = \frac{{{{r'}_{s1}}\cos {\alpha _2}}}{{{r_{m2}}\cos {\beta _2}}},\;\;\;\;\;\;C = \frac{{{{r'}_{m1}}\cos {\alpha _1}}}{{{r_{s2}}\cos {\beta _1}}}\quad \quad \quad $$ (3) （3）式中，各参量的物理意义及部分参数值参见表1和图2所示。表1中包含的符号所代表的物理意义和相应的KB系统结构参数，适用于本文研究的双元件球面KB系统[13]。
表 1 本文研究KB系统的光学参数及释义Table 1. Optical parameters and explanation of KB system光学参数 释义 值 rm1（rs1） M1子午（弧矢）物方焦距/mm 100 α1 M1元件表面入射角/（°） 88.948 β1 M1元件表面反射角/（°） −88.948 R1 M1球面镜球径/mm 9700 α2 M2元件表面入射角/（°） −88.857 β2 M2元件表面反射角/（°） 88.857 R2 M2元件球面半径/mm 9 700 ${r'_{m{\rm{1}}}}$ M1子午像方焦距/mm 见（7）式 ${r_{m2}}$ M2子午物方焦距/mm 见（7）式 ${r'_{{\rm{s1}}}}$ M1弧矢像方焦距/mm 见（8）式 ${r_{{\rm{s}}2}}$ M2弧矢物方焦距/mm 见（8）式 ${r'_{m2}}$ M2子午像方焦距/mm 801 ${r'_{s2}}$ M2弧矢像方焦距/mm 800.2 ${r'_0}$ 最终出射波阵面至像面间距/mm 800 ![]()
图 2 双元件球面KB系统的二维平面光学示意图Figure 2. 2D planar optical schematic of KB system with double-element spherical surface对任何光学系统而言，求解波像差都需要光学系统的基本参数，传统共轴光学系统是基于高斯光学定义其主要参数[14]，但对于KB系统，这些传统光学理论并不适用于特殊光学系统，本文采用平面对称光学系统的二阶波像差来定义光学系统的基本参数[15]。对于表1中的
${r'_{m{\rm{1}}}}$ 以及${r_{{\rm{s}}2}}$ 等未知参数，可应用KB系统的二阶波像差w200=0以及w020=0来确定，即：$$ \begin{array}{l} 2{c_{2,0}}\left( {\cos {\alpha _i} + \cos {\beta _i}} \right) - \left( {\dfrac{{{{\cos }^2}{\alpha _i}}}{{{r_{mi}}}} + \dfrac{{{{\cos }^2}{\beta _i}}}{{{{r'}_{mi}}}}} \right) = {\rm{0 }}\\ \;\;\;\;\;\;{\rm{(}}i{\rm{ = 1,2)}} \end{array} $$ (4) $$ \begin{array}{l} \!\!\!\!\!\!\!\!\!2{c_{0,2}}\left( {\cos {\alpha _i} + \cos {\beta _i}} \right) - \left( {\dfrac{1}{{{r_{si}}}} + \dfrac{1}{{{{r'}_{si}}}}} \right) = {\rm{0}}\\ \;\;{\rm{(}}i{\rm{ = 1,2)}} \end{array} $$ (5) 其中
${c_{2,0}}$ 及${c_{{\rm{0}},{\rm{2}}}}$ 为反射镜元件的面形系数[9]，即：$$ {c_{2,0}} = \frac{1}{{2R}},\;\;\;\;\;\;{c_{0,2}} = \frac{1}{{2\rho }} $$ (6) 式中：R为光学元件主半径；ρ为光学元件副半径，对球面镜而言ρ=R。由表1中R1=R2=9 700 mm，结合（4）式、（5）式可得
${r'_m}$ -${r_m}$ 、${r'_s}$ -${r_s}$ 互相转化的关系式为$$ \begin{array}{l} {{r'}_{mi}} = \dfrac{{R \cdot {r_{mi}} \cdot {{\cos }^2}{\beta _i}}}{{(\cos {\alpha _i} + \cos {\beta _i}) \cdot {r_{mi}} - R \cdot {{\cos }^2}{\alpha _i}}}{\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;(i = 1,2) \end{array} $$ (7) $$ \begin{array}{l} {{r'}_{si}} = \dfrac{{R \cdot {r_{si}}}}{{{r_{si}} \cdot \left( {\cos {\alpha _i} + \cos {\beta _i}} \right) - R}}{\rm{ }}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;(i = 1,2) \end{array} $$ (8) 1.2 总波像差表达式
综合（2）～（8）式，KB系统子午和弧矢方向上的波像差总表达式可由（2）式进一步展开为
$$ \begin{split} \bar W = & \displaystyle\sum\limits_{ijk}^4 {{A^i}{B^j}{{\tilde w}_{ijk\left( 1 \right)}}{x'}_{0{\rm{2}}}^i{y'}_{0{\rm{2}}}^ju_1^k} + \sum\limits_{ijk}^4 {{C^k}{{\tilde w}_{ijk\left( 2 \right)}}{x'}_{02}^i{y'}_{02}^jv_{\rm{1}}^k} = {\rm{ }}\\ &{A^3}{{\tilde w}_{300\left( 1 \right)}}{y'}_{0{\rm{2}}}^3{\rm{ + }}{{\tilde w}_{300\left( 2 \right)}}{x'}_{0{\rm{2}}}^3 + A{B^2}{{\tilde w}_{120\left( 1 \right)}}{x'}_{0{\rm{2}}}^2{{{y'}}_{02}} + \\ &{{\tilde w}_{120\left( 2 \right)}}{x'}{{{y'}}^2}_{02}{\rm{ + }}({A^4}{{\tilde w}_{400\left( 1 \right)}} + {{\tilde w}_{040\left( 2 \right)}}){y'}_{02}^4 + \\ &({B^4}{{\tilde w}_{040\left( 1 \right)}} + {{\tilde w}_{400\left( 2 \right)}}){x'}_{02}^4{\rm{ + }}({A^2}{B^2}{{\tilde w}_{220\left( 1 \right)}} +\\ & {{\tilde w}_{220\left( 2 \right)}}){x'}_{0{\rm{2}}}^2{{{y'}}^2}_{02} + A{{\tilde w}_{102\left( 1 \right)}}y{'_{02}}u_1^2 + \\ & {C^2}{{\tilde w}_{102\left( 2 \right)}}x{'_{02}}{v_1}^2 + {B^3}{{\tilde w}_{031\left( 1 \right)}}{x'}_{0{\rm{2}}}^3{u_1} + C{{\tilde w}_{031\left( 2 \right)}}{{{y'}}^3}_{02}{v_1} + \\ & {B^2}{{\tilde w}_{022\left( 1 \right)}}{x'}_{0{\rm{2}}}^2u_1^2 +{C^2}{{\tilde w}_{022\left( 2 \right)}}{{{y'}}^2}_{02}{v_1}^2 + \\ &{A^2}B{{\tilde w}_{211\left( 1 \right)}}{{{x'}}_{02}}{{{y'}}^2}_{02}{u_1} + C{{\tilde w}_{211\left( 1 \right)}}{x'}_{0{\rm{2}}}^2{{{y'}}_{02}}{v_1} + \\ & {A^2}{{\tilde w}_{202\left( 1 \right)}}{{{y'}}^2}_{02}u_1^2 + {C^2}{{\tilde w}_{202\left( 2 \right)}}{x'}_{0{\rm{2}}}^2{v_1}^2 + \\ &B{{\tilde w}_{013\left( 1 \right)}}{{{x'}}_{02}}u_1^2 + {C^3}{{\tilde w}_{013\left( 2 \right)}}{{{y'}}_{02}}{v_1}^3 + \\ &AB{{\tilde w}_{111\left( 1 \right)}}{{{x'}}_{02}}{{{y'}}_{02}}{u_1} + C{{\tilde w}_{111\left( 2 \right)}}{{{x'}}_{02}}{{{y'}}_{02}}{v_1} \end{split} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$$ (9) 2 光学传递函数计算
2.1 出瞳参数计算
如图1所示，由于KB系统的元件为矩形球面镜，光束以极大角度掠入射经过该系统时产生的严重偏离与子午弧矢焦距的显著差异，使光束在最后一个元件出射的投影形状可视为一条狭长的矩形。按照线性几何关系，在KB系统第2块元件，即最后一块元件投影的矩形长和宽为
$$ \left\{ \begin{array}{l} l = \dfrac{{h\cos ({u_2}){r_{m2}}}}{{({d_1} - {r_{m2}})\cos ({\alpha _2})}}{\rm{ }}\\ w = \dfrac{{h{r_{s2}}}}{{{d_1} - {r_{s2}}}} \end{array} \right. $$ (10) 式中：h为孔径光阑直径，对KB系统而言孔径光阑与元件表面重合，故h等于光学元件的几何尺寸；d1为孔径光阑到最后一个元件的距离。由于KB系统的孔径光阑处于M2元件的出射表面，所以d1=0。
2.2 KB系统光学传递函数表达式
本文采用自相关法计算光学传递函数[16]。同一般光学系统不同，KB系统的光源并非可见光而是X射线，本文将KB系统视为单色光光学系统处理。对于波长为
$\lambda $ 的KB系统，子午方向和弧矢方向的像方空间频率分别为${\upsilon _m}$ 和${\upsilon _s}$ ，则子午和弧矢方向上的光学传递函数分别为[17]$$\begin{array}{l} {T_m}({\upsilon _m};\lambda ) = \dfrac{1}{D}\displaystyle\iint\limits_S {\exp \left[ {{\rm{i}}k{W_m}(x + \lambda {{r'}_c}{\upsilon _m}/2,y)} \right] \cdot } \\ \quad \quad \quad \quad \;\;\;\;\exp \left[ { - {\rm{i}}k{W_m}(x - \lambda {{r'}_c}{\upsilon _m}/2,y)} \right]{\rm{d}}x{\rm{d}}y \\ \end{array} $$ (11) $$\begin{array}{l} {T_s}({\upsilon _s};\lambda ) = \dfrac{1}{D}\displaystyle\iint\limits_S {\exp \left[ {{\rm{i}}k{W_s}(x,y + \lambda {{r'}_c}{\upsilon _s}/2)} \right]} \cdot\;\;\;\;\; \\ \quad \quad \quad \quad \;\;\exp \left[ { - {\rm{i}}k{W_s}(x,y - \lambda {{r'}_c}{\upsilon _s}/2)} \right]{\rm{d}}x{\rm{d}}y \\ \end{array} $$ (12) 式中：系数
$k = 2{\rm{\pi }}/\lambda $ ；D为出瞳面积；S为出瞳投影在子午和弧矢方向分别偏移了$ \pm \lambda {r_0}{\rm{'}}{\upsilon _m}/2$ 和$ \pm \lambda {r_0}{\rm{'}}{\upsilon _s}/2$ 之后产生重叠的区域[18]，如图3所示；${W_m}(x,y)$ 和${W_s}(x,y)$ 分别对应KB系统的子午和弧矢方向上的波像差。2.3 积分值的处理
（11）式和（12）式的被积函数为复函数，且包含
$e$ 指数的高次项。对该类函数直接积分无法得到结果，本文使用Gauss-Legendre数值积分法对其进行求解。与其他数值积分方法相比，该积分法计算速度稍慢，但精度高，是一种较好的处理光学传递函数的方法[19]。Gauss-Legendre求积公式为$$\int_c^d {f(x){\rm{d}}x \approx \frac{{d - c}}{2}} \sum\limits_{k = 1}^N {{w_{N,k}}f({x_{N,k}})} $$ (13) 式中：N是节点数；
${w_{N,k}}$ 是不同节点的权重系数；节点横坐标${x_{N,k}}$ 满足关系：$${x_{N,k}} = \frac{{d + c}}{2} - \frac{{d - c}}{2}{t_{N,k}}$$ (14) 节点数N取的越大，求积越精确，计算时间也相应变长。本文取节点数
$N = 8$ ，各节点${t_{8,k}}$ 及相应的权值${w_{8,k}}$ 由表2给出[13]。表 2 Gauss-Legendre求积公式节点和权值Table 2. Nodes and weights of Gauss-Legendre quadrature formula$k$ 1，2 3，4 5，6 7，8 ${( - 1)^{k + 1}}{t_{8,k}}$ 0.9603 0.7967 0.5255 0.1834 ${w_{8,k}}$ 0.1012 0.2224 0.3137 0.3627 （14）式中
$d$ 和$c$ 分别是KB系统光学传递函数的自相关积分式（11）和式（12）二重积分内外层积分的上、下限。对自相关积分式应用Gauss-Legendre求积公式分别进行运算处理，从而得到KB系统子午面和弧矢面2个正交平面各自的MTF。3 数值验证
3.1 本文方法与Zemax的结果对比
本文以文献[13]中的KB系统（参数见表1）为例，使用Zemax OpticStudio对该系统进行建模仿真，并分析了该系统的点列图以及MTF，将结果与本文得到的MTF导入计算出的点列图进行对比。点列图是评价KB系统成像性能的传统方法，但该方法只具备定性分析的能力，仅能用于评价，不能用于KB系统元件及结构的优化。
图4为KB系统理想安装状态下不受离焦像差影响的中心视场点列图成像对比结果。从图4可以看出，两种方法得出的点列图几何尺寸均约为70
$\;{\rm{\mu m}}$ ×80$\;{\rm{\mu m}}$ 级别。两种方法的点列图在尺寸和相似度上高度一致。对点列图放大观察时，发现两者之间仍然存在细微的差异，产生的原因在于：
1） 三阶像差理论计算过程中无法考虑更高阶的像差及衍生像差带来的误差。尽管高阶像差所导致的误差不足以影响KB系统的像质评价，但在图像对比上差异仍会较为直观地体现出来。
2） 两种软件得出点列图的算法不同。
图5为本文方法计算的KB系统MTF曲线与Zemax模拟得到的MTF对比结果。由图5可以看出，两图曲线的趋势及线形吻合良好，产生差异的主要因素是应用平面对称光学系统三阶像差理论时，对孔径光线在元件出射波阵面与光学系统的参考坐标间以线性传递为基准，无法考虑非线性传递的贡献量；次要因素是Zemax无法为光学系统设置二维光源，这是无法避免的问题。
对比结果表明，通过平面对称光学系统三阶像差理论来计算KB系统的MTF曲线，并以此分析其成像性能完全具备可行性，而且能够满足一定的精度要求。
图5纵坐标为光学系统的调制传递函数值，越接近1表明成像品质越优秀，横坐标表示空间频率，为显微镜观察对象的分辨率级别，也就是1 mm内有多少个观察周期。传统的KB系统分辨率测量实验中，使用了线宽为6
${\rm{\mu m}}$ 的金属网格为参照，根据使用KB显微镜系统所观察到的网格图像的清晰度来判断KB系统的成像性能，本文的方法则将其量化为曲线图，更为直观地体现了KB系统在某一空间频率下的MTF值，以MTF值的大小来判断KB系统是否在该分辨率级别下依然能清晰成像。3.2 KB系统的单项像差MTF曲线及分析
应用平面对称三阶像差理论对KB系统进行像差分析的优越性在于可以得到光学系统的单项像差。本文计算并绘制出KB系统两项主要的单项波像差作用的调制传递函数，球差单项像差MTF如图6所示，彗差单项像差MTF如图7所示。通过计算KB系统的单项调制传递函数来分析KB系统的像差主导因素，为KB系统的像质优化提供一种新思路。
通过图5～7之间的对比不难发现，该KB系统的球差调制传递函数值相对较低，随空间频率变化的下降速度和下降幅度都劣于KB系统的总调制传递函数，而彗差调制传递函数值则相对较好。实际上，这一结果通过KB系统总波像差表达式（9）式已经体现，由于彗差项的乘积因子带有视场角
${v_1}$ 和${u_1}$ ，KB系统视场角的值通常非常小，因此彗差对波像差的贡献也就远小于球差的贡献。由于球差在空间频率20 lp/mm附近的调制值已经极低，以本文的理论方法可以推断，按照分辨率=1/空间频率(单位：lp/mm)的计算规则，该系统的分辨率可以达到50${\rm{\mu m}}$ 级别。若需要在更高空间分辨率的条件下工作，该系统则不能胜任。目前，使用非球面镜设计是进行球差校正的重要手段，因此对该KB系统的光学元件进行优化可以采用非球面设计，从而校正球差使其分辨率进一步提高。本文重点在于提出一种以波像差理论计算KB系统MTF曲线的方法，对于光学系统的优化设计如何进一步进行，本文不便赘述。
4 结论
基于传统光学MTF函数的自相关积分方法，结合平面对称光学三阶像差理论计算了KB光学系统的调制传递函数。这种方法通过解析表达式直接求取元件的波像差，与传统的光线抽样以及光程差拟合法相比，其优势在于该方法不仅能定性，更能定量分析光学元件的结构参数对光学系统MTF的影响，还可以单独分析各单项像差对MTF的贡献分布。通过该方法可以较好地对KB系统的成像质量进行分析，并进一步优化系统元件的结构参数，为X射线光学正交系统的设计提供指导。
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图 1 双元件球面KB系统的理想光路图
Figure 1. Optical path of KB system with double-element spherical surface
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图 2 双元件球面KB系统的二维平面光学示意图
Figure 2. 2D planar optical schematic of KB system with double-element spherical surface
表 1 本文研究KB系统的光学参数及释义
Table 1 Optical parameters and explanation of KB system
光学参数 释义 值 rm1（rs1） M1子午（弧矢）物方焦距/mm 100 α1 M1元件表面入射角/（°） 88.948 β1 M1元件表面反射角/（°） −88.948 R1 M1球面镜球径/mm 9700 α2 M2元件表面入射角/（°） −88.857 β2 M2元件表面反射角/（°） 88.857 R2 M2元件球面半径/mm 9 700 ${r'_{m{\rm{1}}}}$ M1子午像方焦距/mm 见（7）式 ${r_{m2}}$ M2子午物方焦距/mm 见（7）式 ${r'_{{\rm{s1}}}}$ M1弧矢像方焦距/mm 见（8）式 ${r_{{\rm{s}}2}}$ M2弧矢物方焦距/mm 见（8）式 ${r'_{m2}}$ M2子午像方焦距/mm 801 ${r'_{s2}}$ M2弧矢像方焦距/mm 800.2 ${r'_0}$ 最终出射波阵面至像面间距/mm 800 
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表 2 Gauss-Legendre求积公式节点和权值
Table 2 Nodes and weights of Gauss-Legendre quadrature formula
$k$ 1，2 3，4 5，6 7，8 ${( - 1)^{k + 1}}{t_{8,k}}$ 0.9603 0.7967 0.5255 0.1834 ${w_{8,k}}$ 0.1012 0.2224 0.3137 0.3627
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