引言

光干涉测量方法具有非接触、高效率、高灵敏度等特点，也就必然成为新世纪精密测量技术的重要发展方向^[1]。干涉图相位提取是干涉测量中的关键一步，相位提取精度的优劣直接影响最终检测的精度^[2]。快速傅里叶变换法（fast fourier transform，FFT）具有处理瞬变波面相位的能力，可有效克服机械振动和气流的影响^[3-5]，因此成为大口径光学元件测量的常用方法之一。

快速傅里叶变换法（FFT）于20世纪80年代被提出并应用于条纹图的相位提取中^[6]，对干涉条纹图进行FFT相位提取法的目的是提取出频谱中包含被测波面信息的正一级频谱，也称为滤波过程^[7-8]，滤波过程的好坏直接影响相位提取精度的高低。目前国内外文献针对FFT相位提取技术主要围绕算法中几个关键步骤进行研究，如文献[9]对干涉图延拓进行分析;文献[10]提出了一种基于FFT时移特性的叠栅条纹细分方法；文献[11]较为综合地分析了影响FFT相位提取法的边缘误差、窗函数、滤波器设计、干涉图延拓及载波条纹数等因素；文献[12]将傅里叶变换相位提取法应用于仿真及实验采集电子散斑干涉（electronic speckle interference，ESPI）信息处理中。为得到更高的相位提取精度，对二维FFT相位提取法的进一步研究仍是国内外研究热点。

针对FFT相位提取技术的滤波过程进行研究，通过选取不同滤波窗对计算机仿真干涉图进行相位提取，对比不同类型的滤波窗滤出的正一级频谱分布形状及其对相位提取精度的影响，最后利用实验采集干涉图对算法的可靠性进行验证。

1   基本原理

1.1   快速傅里叶变换（FFT）基本原理

对于一般的实验干涉仪，引入空间载频${f_x}$、${f_y}$后的干涉条纹的强度分布可以表示为

其中

式中：${I_d}(x,y)$是干涉条纹的背景光强分布；$b(x,y)$是干涉条纹的调制度分布；$\varphi (x,y)$为含有待测波面相位信息的相位分布函数；$ * $表示复共轭^[13]。

对(1)式进行傅里叶变换，将空域中的干涉条纹信息转移到频域内，得到的频谱分布函数表示为

式中$A({f_1},{f_2})$、$C({f_1} - {f_x},{f_2} - {f_y})$、$C*({f_1} + {f_x},{f_2} + {f_y})$分别表示零级、正一级、负一级频谱分布函数。选取一个中心频率为$({f_x},{f_y})$的滤波器将正一级频谱$C({f_1} - {f_x},{f_2} - {f_y})$提取出来并平移至原点，得到$C({f_x},{f_y})$，对其进行二维傅里叶逆变换，即可得到$C(x,y)$。由(2)式可得所求相位

式中${\rm Re} [c(x,y)]$及${\rm{lm}}[c(x,y)]$分别为$C(x,y)$的实部和虚部。

1.2   滤波窗函数

如图1(a)为仿真干涉图的频谱分布，要准确无误地从该频谱图中提取正一级频谱，就要选取适当的滤波窗，但若选取滤波窗不当，就会造成有效频谱信息的缺失^[14]。如图1(b)所示为选取滤波窗为圆域形窗口时滤出的正一级频谱，其频谱信息出现明显截断现象，为了减少截断误差，有必要对几种通用的滤波器进行分析与比较。目前二维FFT进行干涉测试数据处理时，使用较多的滤波器有海明(Hamming)窗、汉宁(Hanning)窗、高斯(Gaussian)窗、布莱克曼(Blackman)窗。

图  1  FFT法滤波阶段频谱分布

Figure  1.  Filtering stage spectrum distribution of FFT method

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根据干涉图频谱分布的这一特点，选取与其分布形状相似的几种滤波窗函数，表1为几种滤波窗函数的一维表达式。

表  1  几种滤波窗函数

Table  1.  Several filter window functions

Window type	Function	Parameter
Blackman	$\omega (n) = \left\{ \begin{array}{l} 0.42 - 0.5\cos (\frac{{2{\text{π}} n}}{{N - 1}}) + \\ 0.08\cos (\frac{{4{\text{π}} n}}{{N - 1}})\quad \quad \quad 0 \leqslant n \leqslant N - 1 \\ \quad \quad \quad \quad \quad 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm otherwise} \\ \end{array} \right.\quad $	main lobe width ${\rm{12}}{\text{π}} {\rm{/}}N$ Side lobe peak attenuation 56 dB
Gaussian	$\begin{array}{l} \omega (n) = \;\exp \left[ { - \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{n - N/2}}{{\sigma N/2}}} \right)}^2}} \right]\quad 0 \leqslant n \leqslant N - 1 \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \sigma \leqslant 0.5 \\ \end{array} $	main lobe width ${\rm{8}}{\text{π}} {\rm{/}}N$ Side lobe peak attenuation 44 dB
Hanning	$\omega (n) = \left\{ \begin{array}{l} 0.5\left[ {{\rm{1}} - \cos (\frac{{2{\text{π}} n}}{{N - 1}})} \right]\quad \quad 0 \leqslant n \leqslant N - 1 \\ \quad \quad \quad \quad 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm otherwise} \\ \end{array} \right.\quad $	main lobe width ${\rm{8}}{\text{π}} {\rm{/}}N$ Side lobe peak attenuation 31 dB
Hamming	$\omega (n) = \left\{ \begin{array}{l} 0.5{\rm{4 - 0}}{\rm{.46}}\cos (\frac{{2{\text{π}} n}}{{N - 1}})\quad 0 \leqslant n \leqslant N - 1 \\ \quad \quad \quad \quad 0\quad \quad \quad \quad \quad {\rm otherwise} \\ \end{array} \right.\quad $	main lobe width ${\rm{8}}{\text{π}} {\rm{/}}N$ Side lobe peak attenuation 41 dB

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根据表1中各类窗函数的分布函数绘制时频振幅响应分布，选取N=30作为采样点，为直观起见，绘制其一维空/频分布如图2，其对应二维空/频分布，可由一维空/频分布经旋转得到。

图  2  几种滤波窗函数振幅响应

Figure  2.  Spectral response of several filter window functions

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根据图2多种滤波窗函数的时域/频域响应及表1中参数可知，不同窗函数主要差别在于主瓣宽度及旁瓣衰减速率。其中主瓣宽度主要影响信号的能量分布，旁瓣峰值衰减速率影响能量的泄露程度^[15]，旁瓣越高，能量泄露越严重，衰减速率就越慢^[16]。对于FFT滤波过程，要保证滤出正一级频谱的同时滤掉其他频谱成分，且要最大程度地保留正一级频谱沿x轴和y轴延伸区域内的频谱成分，需综合考虑滤波窗的频谱分布形状及对应参数。

2   仿真分析

2.1   滤波处理

针对第一节提出的频谱截断现象，选取Hamming、Hanning、Gaussian、Blackman四种与正一级频谱分布形状相近的滤波窗对仿真干涉图的频谱图(图1(a))进行滤波处理，其中仿真干涉图尺寸为300×300像素，零频频谱中心频率位于（151，151），正一级频谱中心频率位于（164，164），即滤波窗中心频率确定。根据距离公式求得二者像素间距为18.384 7像素，则滤出正一级频谱对应窗口函数的滤波半径可以此为参考。如图3分别为其对应频谱响应（滤波半径取值为18）及选取该窗口滤出的正一级频谱分布图。

分析图3(a)～(d)可得：经Hamming窗和Hanning窗提取的正一级频谱较完整地保留了原始频谱成分，没有其他频谱成分的混入。分析其造成的原因主要是由于主瓣宽度覆盖了正一级频谱带宽，且第一旁瓣高度较低，未出现频谱泄露现象，即未混入零频及负一级频谱；而经Gaussian、Blackman窗提取的正一级频谱分布虽较完整地保留了原始频谱成分，但有其他频谱成分的混入。分析对应窗口函数及频谱响应分布得到，其主瓣宽度覆盖正一级频谱宽度，但由于其第一旁瓣有一定幅值，造成了在此窗函数x及y方向上引入较多频谱泄露，即混入的零频及正一级频谱。

图  3  不同滤波窗及其提取模拟干涉图的正一级频谱分布

Figure  3.  Positive first-order spectral distribution of simulated interferogram extracted by different filtering windows

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2.2   相位误差分析

将不同滤波窗函数提取出的正一级频谱进行移中并做逆傅里叶变换，利用反正切函数求得包裹相位，再利用离散余弦（discrete-cosin-transform，DCT）解包裹法提取连续相位，最后进行波面拟合，得到波面分布。计算不同滤波窗口选取下的FFT相位提取法得到波面的波面峰谷值（peak-to-valley，PV）和波面均方根值(root-mean-square，RMS)，分析相位提取精度并与原始波面进行残差计算。其中原始波面分布评价参数PV_a为0.246 4λ，RMS_a为0.056 4λ，经FFT法得到的波面分布评价参数为PV₁、RMS₁，记ΔPV=PV₁−PV_a，ΔRMS=RMS₁−RMS_a。其值如表2所示。

表  2  不同滤波窗下FFT算法结果比较 (λ=632.8 nm)

Table  2.  Comparison of FFT algorithm results in different filtering windows (λ=632.8 nm)

Window Type	PV1/λ	∆PV/λ	RMS1/λ	∆RMS/λ
Hamming	0.257 9	0.008 5	0.056 3	−0.000 1
Hanning	0.258 6	0.012 2	0.056 3	−0.000 1
Gaussian	0.262 0	0.015 6	0.056 3	−0.000 1
Blackman	0.248 3	0.001 9	0.056 2	−0.000 2

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对比上述ΔPV及ΔRMS可知，选取Blackman窗及Hamming窗处理得到波面的评价参数在数值上较其他窗口函数更逼近原始波面的评价参数，结果优于Gaussian窗及Hanning窗。其中最优窗口类型为Hamming窗，其波面峰谷值残差为0.008 5λ，波面均方根值残差为0.000 1λ。

3   实验验证

3.1   实验装置

为验证仿真结果的可行性和精度，分别采用二维傅里叶变换法(2D-FFT)和移相干涉法(PSI)对实验采集的干涉图进行处理并比较其测试结果。实验阶段所用的菲索干涉仪是美国Zygo公司生产的Verifire PE激光干涉仪，该干涉仪是共光路面形计量干涉仪，光源为低功率的632.8 nm的氦氖激光，采用PZT移相干涉原理可以对多种光学元件的面形进行检测，其干涉仪装置如图4所示。

图  4  Zygo激光干涉仪装置图

Figure  4.  Diagram of Zygo laser interferometer device

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3.2   算法处理

使用Zygo干涉仪采集实验干涉图如图5(a)所示，其尺寸为300×300像素。经消除白噪声后的条纹图如图5(b)，对处理后的条纹图进行二维傅里叶变换，得到频谱分布如图5(c)。选取Hamming窗将正一级频谱取出并滤掉其他频谱，并将正一级频谱平移到整个频谱中心，如图5(d)～(e)；对移中后的正一级频谱做二维傅里叶逆变换，利用反正切函数求取包裹相位如图5(f)，采用离散余弦解包裹法进行处理，其结果如图5(g)。

图  5  FFT相位提取法各阶段处理结果图

Figure  5.  Diagram of interferogram processing result by using FFT

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选取其他3种滤波窗（Hanning、Blackman、Gaussian）对实验采集条纹图进行上述相位提取的算法处理，图6(a)～(d)所示为上述4种滤波窗提取出的实验干涉图正一级频谱分布。

对图6进行分析可得，实验干涉图在不同滤波窗处理下的正一级频谱分布与仿真干涉图的结果呈现相同的趋势。即Hamming窗和Hanning窗较完整地保留正一级频谱且无其他频谱成分混入，而Blackman窗及Gaussian窗仍有其他频谱成分混入。

图  6  不同滤波窗提取实验干涉图的正一级频谱分布

Figure  6.  Positive first-order spectral distribution of experimental interferogram extracted by different filtering windows

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3.3   结果分析

表3为用FFT相位提取法(不同滤波窗口)得到的波面及PSI法测得波面的评价参数汇总。

表  3  FFT（不同滤波窗）&PSI算法的结果比较 (λ=632.8 nm)

Table  3.  Comparsion of results in FFT(different filtering windows) and PSI (λ=632.8 nm)

Method	PV/λ	RMS/λ
PSI	0.445 4	0.002 7
FFT (Hamming Window)	0.436 1	0.002 2
FFT (Hanning Window)	0.417 7	0.002 8
FFT (Gaussian Window)	0.326 2	0.002 2
FFT (Blackman Window)	0.527 3	0.002 9

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由表3可知，选取Hanning窗及Hamming窗处理得到波面的评价参数在数值上较其他窗口函数更逼近PSI法所得波面评价参数，结果优于Blackman窗及Gaussian窗。其中最优窗口类型为Hamming窗，其波面峰谷值残差为0.009 3λ，波面均方根值残差为0.000 5λ。

4   结论

针对二维傅里叶变换相位提取算法滤波过程中滤波窗的选取进行研究。首先分析干涉条纹图的频谱分布及各类滤波窗口函数的参数及其频谱响应；其次进行仿真实验，针对干涉图的频谱分布特点选取合适的窗口进行滤波处理并进行相位提取，分析不同窗口选取下对相位提取精度的影响；最后利用立式菲索干涉仪进行实验验证并与移相干涉测量法所测的结果进行对比。实验及仿真结果表明：选取Hamming窗提取的正一级频谱较完整地保留了原始频谱成分，相位提取精度优于0.01λ，可进一步应用于大口径光学元件的测量中。