引言

相移轮廓术（phase shifting profilometry，PSP）是一种有效的光学三维测量方法，在生物医学、工业检测和逆向工程等领域有着广泛的应用^[1-3]。通常，PSP系统由投影仪和摄像机构成，投影仪投射一系列周期性图案至目标物体，同时使用摄像机捕捉经过物体调制后的条纹图像^[4-5]。在系统无非线性的假设下，调制后的条纹可以通过条纹分析方法获取物体相貌信息^[6-7]。但在实际的系统中，由于投影仪和摄像机的使用，获取的图像强度值会发生截断，从而产生非线性误差^[8]。

为了获取高精度的三维测量结果，很多学者针对系统的非线性误差提出了解决方案^[9]。Huang等人提出对测量系统的亮度进行预标定，获取输入输出亮度值，构建查找表（lookup table，LUT）^[10]。这样整个系统的非线性可以通过LUT法进行有效的校正。但是，该校正法针对的是某一固定不变的系统。当测量系统某一变量发生变化时，预标定的参数就无法使用。所以主动校正方法不具有通用性，同时需要人工干预标定。为了减少人工标定操作，Zhang提出使用投射的条纹图像获取系统输入输出强度的LUT^[11]。该方法同样会由于环境变化而产生偏离误差。随后Pan推导了N步相移的相位与非线性相位误差的关系，并使用迭代法进行较正^[12]，但是该方法需要大量的计算。为了避免非线性对测量的影响，Lei提出了离焦二值条纹测量技术^[13]。离焦效应相当于低通滤波器，通过较大程度的透镜离焦可以显著降低投影仪的非线性。一般来说，二值条纹对离焦程度和频率较为敏感，测量精度很大程度上取决于条纹的质量，精度不稳定。

为了解决上述问题，Mo等人提出了复合梯形正弦方法来减少图像的数量，同时能够保证该方法的通用性^[14]。但该方法在测量过程中，仍然需要3组相移条纹共9幅图像。对于快速测量来说，9幅图像仍显冗余。基于此，本文提出了优化的梯形正弦相移算法，引入希尔伯特变换，使得一次测量只需要7幅图像，测量的效率提高了28%。

1   相关理论

1.1   三步相移法

N步相移算法因其测量速度快、测量精度高和非接触的优点^[15]，而被广泛地应用于相位测量中。在N步相移算法中，三步相移算法是高速三维测量应用中的最佳选择，因为它需要最少的图像来获得绝对相位图。三步相移算法的步长是2π/3，每个条纹的强度值可以表示为

式中：$ A(x,y) $是测量环境背景光强；$ B(x,y) $是条纹的调制度；$ \phi (x,y) $是截断相位；$ (x,y) $是图像坐标点。依据相移算法，$ A(x,y) $、$ B(x,y) $、$ \phi (x,y) $可分别通过下式计算得到（为了公式简洁，后文省略坐标$ (x,y) $）：

通过求解方程（4）可得到截断相位，因为反正切函数的值域范围只有−π到π。2π相位跳变点需要通过相位展开算法消除。相位展开算法的核心问题是获得条纹级次$ k(x,y) $。最终绝对相位可以由（5）式得到。

1.2   系统非线性分析

系统非线性引起的误差会影响伪摄像机投影仪标定法的精度，在标定过程中需要对非线性误差进行补偿。一般的结构光系统使用的是基于DMD开发的DLP数字投影仪。它在一定程度上消除了机械光栅的相移步进的相移误差，但引进了由于自身Gamma非线性导致的光栅非正弦化。同时摄像机本身也存在非线性响应，在实际实验中将两者非线性作为一个整体考虑。在测量过程中，摄像机拍摄的过程如图1所示。

图  1  系统非线性影响因素

Figure  1.  Influencing factors of system nonlinearity

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忽略环境光对被测物体表面的影响，假设生成的正弦条纹为$ I(x,y) $，那么摄像机拍摄的图像强度分布可表示为

式中：$ {F_{\text{c}}} $、$ {F_p} $分别为投影仪和摄像机的非线性响应函数；$ {I_{\text{c}}} $为拍摄得到的图像。经过两次非线性响应后，拍摄图像的非正弦表现为图像的高次谐波。为了简化校正模型，本文中使用多项式模型来表示非正弦化，其中二阶和三阶因素对结果影响最大。该模型可表示为

式中：$ {e_{\text{3}}} $、$ {e_{\text{2}}} $、$ {e_{\text{1}}} $、$ {e_{\text{0}}} $为常系数，需要通过拟合得到，在本文中非线性模型的阶数为三。

1.3   希尔伯特变换

希尔伯特变换被广泛地应用在信号处理领域中，一个实函数$ \mu {\text{(}}t{\text{)}} $的希尔伯特变换是将$ \mu {\text{(}}t{\text{)}} $与$ {1 \mathord{\left/{\vphantom {1 {\pi t}}} \right.} {\pi t}} $做卷积，得到另一个实函数$ H(\mu ){\text{(}}t{\text{)}} $：

希尔伯特变换可以看作是频域乘法操作：

式中：$ \mathbb{F} $表示傅里叶变换操作，$ {\delta _H}(\omega ) $可被定义为

由上式可知，希尔伯特变换可使信号相位滞后$ {\pi \mathord{\left/{\vphantom {\pi 2}} \right.} 2} $。那么对于正弦信号$ I(x,y) = B(x,y)\cos [\phi (x,y)] $，希尔伯特变换后可得：

最终截断相位可以由下式计算得到：

1.4   优化的梯形条纹

为了提高条纹解析的效率，Huang提出了梯形相移算法^[16]。梯形相移条纹在图像强度变化上不再是正弦曲线，而是呈梯形变化。梯形条纹是基于图像强度编码的，条纹处理速度较快。本文提出使用正弦曲线代替梯形过渡的斜线，通过正弦编码，将其解析的值域扩展为0~6π。改进后的梯形条纹强度可表示为

式中：T₁、T₂、T₃为三步相移的梯形条纹，A、B、$ \phi $同上文。三步相移梯形条纹强度分布如图2（a）～（c）所示。将三步相移的梯形条纹相加后，其强度分布如图2（d）所示，同时其可视为如图2（e）～（g）所示3幅图像的复合。所以在获取上述3幅梯形条纹后，可通过下式获取图像最大和最小强度分布图。

图  2  改进的梯形条纹

Figure  2.  Modified trapezoidal fringes

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从图像生成的原理，可知梯形条纹的区域由6个局部区域组成，这6个局部区域的级次可通过图像强度在局部区域的不同获取，如图3所示。

图  3  梯形局部级次

Figure  3.  Local order of trapezoidal fringe

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获取的局部级次信息是0、1、2、3、4、5，如果2幅局部级次信息，1幅图像中周期是另一幅图像的6倍，那么可唯一确定36个条纹级次。具体的原理由文中第2节给出。

2   基于梯形与正弦相移的测量方法

为了消除系统非线性对测量精度影响，并进一步提高测量速度，本文提出了梯形与正弦相移相结合的非线性误差校正算法。该方法使用2组改进的梯形相移条纹$ ({T_1},{T_2},{T_3};{T_4},{T_5},{T_6}) $和1幅正弦条纹图$ (I) $。2组改进的梯形相移条纹频率不同，高频条纹频率是低频条纹的6倍。假设图像的深度是8位，高频梯形条纹中$ A + B = 195 $和$ A - B = 55 $;低频梯形条纹中$ A + B = 255 $和$ A - B = 0 $。正弦条纹的背景强度和调制度与低频条纹相同，而其条纹频率是高频梯形条纹6倍，低频梯形条纹的36倍。该方法的流程图如图4所示，图中低频梯形条纹的频率为1。

图  4  文中所提方法流程图

Figure  4.  Flow chart of proposed method

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文中所提方法的主要步骤如下：

1） 使用2组复合梯形条纹是用公式可以获得4幅图像强度不一的图像$ ({F_0},{F_1},{F_2},{F_3}) $，同时利用$ A = {{({F_0} + {F_3})} \mathord{\left/{\vphantom {{({F_0} + {F_3})} 2}} \right.} 2} $可以获取低频条纹图像的背景强度。

2） 4幅图像强度不一的图像作为输出，图像生成时给定的强度值作为输入。由此可建立系统的非线性响应曲线^[14]。

3） 利用希尔伯特变换，可以获取原正弦条纹相位滞后的条纹。文中正弦条纹为$ I $，希尔伯特变换后获取的条纹可表示为$ H(I) $，截断相位可以通过公式(12)获取，并使用步骤2获取的非线性响应曲线去校正截断相位。

4） 利用公式，分别获取低频和高频梯形条纹的局部级次$ {M_1} $和$ {M_2}$，那么条纹级次可表示为

5）在完成上述步骤后，使用文献[17]方法对条纹级次$ k $存在的相位误差进行消除。利用公式（5），可直接获取非线性校正后的绝对相位。

3   实验结果与分析

为了验证文中方法在实际测量中的有效性，搭建了条纹投影系统。该系统包括DLP Light-Crafter 4500和摄像机Balser a2A1920-160ucBAS，其中投影仪的分辨率为912 pixel×1 140 pixel，摄像机的分辨率为1 920 pixel ×1 280 pixel。实验过程中，梯形低频条纹的频率为1，周期为1 140像素；高频条纹频率为6，周期为190像素；正弦条纹的频率为36。

为了验证文中方法的性能，首先对一个平面进行了测量。将生成的条纹图像，依次投射到光滑的平板上，摄像机同步拍摄经过平板调制后的图像。调制后的低高频条纹及正弦条纹图像分别如图5（a）~（c）所示。利用第2节中所述算法步骤，首先求取非线性响应函数$ y = - 1.31 \times {10^{ - 5}}{x^3} + 0.004\;6{x^2} + x - 1 $。然后获取高频条纹图像的背景强度。正弦条纹图像经过希尔伯特变换后，利用公式（13）可以求取截断相位$ \phi $，如图5（d）所示。随后利用公式，可求得局部级次$ {M_1} $和$ {M_2} $，最终获取整幅图像的条纹级次分布$ k $。$ {M_1} $、$ {M_2} $和$ k $分别如图5（e）~（g）所示。将上述$ \phi $和$ k $代入公式（5），可求得最终的绝对相位${\mathit{ \Phi}} $，如图5（h）所示。

图  5  平面测量实验

Figure  5.  Plane measurement experiment

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图6展示了对上述平面的重建结果，分别为非线性校正前后的结果。图中可以看出校正后的结果表面更为平滑。为了更清楚地表明校正的效果，图6（c）～（d）显示了校正前后重建结果的第840列的横截面。图中可以看出，校正后的结果，其表面明显更为光滑，而校正前的表面会出现些许的纹波。此外，实验中也对比了文中方法与文献[14]方法的结果，如图6（d）所示。在第840列的横截面上，两种方法的结果几乎完全吻合，再一次佐证了本文方法的有效性。

图  6  平面测量结果

Figure  6.  Plane measurement results

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使用文中方法测量了表面较为复杂的单个雕塑。摄像机采集的图像如图7（a）～（c）所示，依照第2节的算法，可以求出其条纹级次和绝对相位，分别如图7（d）和7（e）所示。依据所求取的非线性响应曲线，可消除表面纹波，重建结果如图7（f）所示。本节实验结果证明了该方法的有效性。

图  7  单个雕塑三维重建

Figure  7.  3D reconstruction of single sculpture

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4   结论

本文提出了一种基于梯形与正弦条纹组合使用的非线性校正方法。文中使用2组图像强度不同的梯形条纹，其强度值作为输入求取系统的非线性响应曲线，然后完成系统的校正。希尔伯特变换的使用减少了正弦条纹的数量。与传统方法相比，文中方法使用更少的图像，仍然能够有效获取被测物体的三维形貌，同时测量效率提高了28%。