Metasurface fan-out diffractive optical elements
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摘要: 提出一种基于电介质纳米砖阵列的扇出衍射光学元件的设计和实现方案，其纳米砖的深宽比低至1.5。这种扇出衍射光学元件被一束波长为633 nm的入射光束照射时，可以在远场中得到均匀的4×4点阵，发散角为32°×32°，且数值模拟与实验结果吻合良好。基于超表面材料的扇出衍射光学元件具有连续、精确的相位操纵能力和较高的偏振转换效率，并且仅需一步光刻制造工艺，可以广泛应用于工程光学的各种领域，例如光学传感，激光雷达，激光加工等。Abstract: Here we report the design and realization of dielectric fan-out diffractive optical elements (DOEs) operating in visible range and with nanobrick depth-width-ratio as low as 1.5. The metasurface-based fan-out DOEs realized here, when illuminated by an incident beam with 633 nm wavelength, the uniform 4×4 spot arrays with an extending angle of 32°×32° can be obtained in the far field. Experimental results agree well with the theoretical analysis and numerical simulation conclusions. Because of these advantages of the single-step nonstructural fabrication procedures, continuous and accurate phase manipulation, and strong polarization conversion, the metasurface-based fan-out DOEs could be utilized for various applications such as optical sensing, lidar, laser machining and so on.
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引言
作为精密控制光束指向的光学器件——快速反射镜（fast steering mirror, FSM）具有体积小、响应速度快、位置精度高等优点，通常与大惯量跟踪框架构成复合轴系统，用于校正主轴系统的跟踪偏差，以及抑制由基座、大气等干扰引起的视轴抖动，广泛应用于激光通信、激光武器、自适应光学等对瞄准线有高精度指向与稳定要求的领域[1-5]。
建立包含结构特性的FSM控制系统模型，分析结构特性与控制系统间的相互作用，对于指导FSM设计具有重要意义。目前，FSM设计大多采用机电分离的设计方法，无法开展结构特性和伺服控制系统共同作用下FSM性能分析。文献[6]对FSM柔性支承传动结构进行了介绍，并对柔顺传动单元空间构型、刚度分析以及FSM动力学分析方法等进行了归纳；文献[7]通过运动学分析，根据约束和各个自由度间的空间关系，确定挠性支承的约束和自由度模型；文献[8～10]采用理论建模或有限元分析方法对柔性铰链结构特性进行了分析，并基于多目标优化提出了柔性铰链结构设计方法。文献[11～14]对FSM控制系统进行建模和仿真，开展了自适应鲁棒控制、滑模动态面控制以及基于状态空间的现代控制方法研究。文献[15～18]通过动力学分析，建立了包含结构特性的控制系统仿真模型，但仅考虑了工作轴转动刚度，未能分析柔性铰链非工作轴刚度特性和负载质心偏离柔性铰链支承中心等对FSM性能的影响。
本文结合在研的两轴快速反射镜，将柔性铰链结构简化为弹性环节，基于动力学分析建立FSM的运动微分方程，基于传递函数理论推导出被控对象和基座扰动隔离的传递函数，并以此为基础搭建包含结构特性的FSM控制系统仿真模型，分析负载质心偏离柔性铰链支承中心、结构谐振频率等对控制系统性能的影响，从而指导FSM设计。
1 FSM组成及工作原理
以音圈电机驱动的两轴FSM为例，由基座、柔性铰链、反射镜、音圈电机、角度测量传感器和驱动控制系统组成，如图1所示。反射镜、反射镜支撑结构、音圈电机线圈部分构成负载，反射镜支撑结构与音圈电机线圈部分直接连接，音圈电机磁钢以及角度传感器安装在基座上，通过柔性铰链将负载与基座相连。通过音圈电机推拉，使反射镜发生角度偏转，采用角度测量传感器（如电涡流位移传感器）对角度进行测量，反馈给驱动控制系统，实现FSM的闭环控制。
2 FSM理论建模
2.1 FSM动力学模型
作为FSM的关键部件，柔性铰链为反射镜负载运动分配各个方向自由度，以两轴FSM为例，柔性铰链允许绕2个工作轴转动，限制3个轴平动自由度和1个非工作轴的转动自由度。对两轴FSM进行简化，如图2所示。图2（a）为正视图，建立坐标系
$o - xy{\textit{z}}$ ，$ o $ 为柔性铰链旋转中心，$ x $ 轴垂直纸面向外，通过音圈电机V1、V2推（拉）与音圈电机V3、V4拉（推）实现绕$ x $ 轴转动，音圈电机V1、V2与音圈电机V3、V4在$ y $ 轴方向的间距为$ 2b $ ，通过电涡流传感器S2、S4差分解算得到绕$ x $ 轴的旋转角度。图2（b）为左视图，$ y $ 轴垂直于纸面向里，通过音圈电机V2、V3推（拉）与音圈电机V1、V4拉（推）实现绕$ y $ 轴转动，音圈电机V2、V3与音圈电机V1、V4在$ x $ 轴方向的间距为$ 2a $ ，通过电涡流传感器S1、S3差分解算得到绕$ y $ 轴的旋转角度。将柔性铰链简化为弹性环节，即等效为3个轴平动刚度
$ {k_x} $ 、$ {k_y} $ 、${k_{\textit{z}}}$ 和3个轴转动刚度$ {k_\alpha } $ 、$ {k_\beta } $ 、$ {k_\gamma } $ ，对应各自由度方向的结构阻尼系数分别为$ {c_x} $ 、$ {c_y} $ 、${c_{\textit{z}}}$ 、$ {c_\alpha } $ 、$ {c_\beta } $ 、$ {c_\gamma } $ ，可描述柔性铰链的结构特性。由于结构设计、加工和安装误差等，负载质心$ c $ 不可避免地偏离柔性铰链的转动中心，设偏离位移为${\left( {\Delta x , \Delta y , \Delta {\textit{z}}} \right)^{\text{T}}}$ 。设负载质量为
$ m $ ，在建立坐标系$o - xy{{{\textit{z}}}}$ 下，负载绕$ x $ 轴的转动惯量为$ {I_{xx}} $ ，负载绕$ y $ 轴的转动惯量为$ {I_{yy}} $ 。设基座的平动位移为
${\left( {{x_i} , {y_i} , {{\textit{z}}_i}} \right)^{\text{T}}}$ ，基座的转动角位移为$ {\left( {{\alpha _i} , {\beta _i} , {\gamma _i}} \right)^{\text{T}}} $ ，反射镜负载在柔性铰链转动中心处的平动位移为${\left( {{x_o} , {y_o} , {{\textit{z}}_o}} \right)^{\text{T}}}$ ，转动角位移为$ {\left( {{\alpha _o} , {\beta _o} , {\gamma _o}} \right)^{\text{T}}} $ ，反射镜负载的运动可看作是平动位移${\left( {{x_o} , {y_o} , {{\textit{z}}_o}} \right)^{\text{T}}}$ 和转动角位移$ {\left( {{\alpha _o} , {\beta _o} , {\gamma _o}} \right)^{\text{T}}} $ 的复合运动。其中负载相对基座的转动角位移为$ \alpha $ 、$ \beta $ ，$ \alpha = {\alpha _o} - {\alpha _i} $ ，$ \beta = {\beta _o} - {\beta _i} $ ，可由角度传感器测量得到。反射镜负载相对基座运动，柔性铰链产生的弹性力为
$$ \begin{gathered} \overrightarrow {{F_S}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {k_x}}&0&0 \\ 0&{ - {k_y}}&0 \\ 0&0&{ - {k_{\textit{z}}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_o} - {x_i}} \\ {{y_o} - {y_i}} \\ {{{\textit{z}}_o} - {{\textit{z}}_i}} \end{array}} \right) + \\ \quad \quad \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {c_x}}&0&0 \\ 0&{ - {c_y}}&0 \\ 0&0&{ - {c_{\textit{z}}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_o} - {{\dot x}_i}} \\ {{{\dot y}_o} - {{\dot y}_i}} \\ {{{\dot {\textit{z}}}_o} - {{\dot {\textit{z}}}_i}} \end{array}} \right) \\ \end{gathered} $$ (1) 反射镜负载质心偏离转动中心，产生的绕转动中心的不平衡力矩为
$$ \overrightarrow {{M_{{\text{S1}}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta x} \\ {\Delta y} \\ {\Delta {{{\textit{z}}}}} \end{array}} \right) \times \left( { - \overrightarrow {{F_S}} } \right) $$ (2) 反射镜负载相对基座转动，柔性铰链产生的转动力矩为
$$ \begin{gathered} \overrightarrow {{M_{S2}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {k_\alpha }}&0&0 \\ 0&{ - {k_\beta }}&0 \\ 0&0&{ - {k_\gamma }} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _o} - {\alpha _i}} \\ {{\beta _o} - {\beta _i}} \\ {{\gamma _o} - {\gamma _i}} \end{array}} \right) + \\ \quad \quad \;\,\;\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - {c_\alpha }}&0&0 \\ 0&{ - {c_\beta }}&0 \\ 0&0&{ - {c_\gamma }} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot \alpha }_o} - {{\dot \alpha }_i}} \\ {{{\dot \beta }_o} - {{\dot \beta }_i}} \\ {{{\dot \gamma }_o} - {{\dot \gamma }_i}} \end{array}} \right) \\ \end{gathered} $$ (3) 音圈电机动子与反射镜支撑结构直接相连，音圈电机施加到反射镜负载上的作用力、转动力矩分别为
$$ \overrightarrow {{F_V}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ {{F_{{\text{V1}}}} + {F_{{\text{V2}}}} + {F_{{\text{V3}}}} + {F_{{\text{V4}}}}} \end{array}} \right) $$ (4) $$ \overrightarrow {{M_V}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {b{F_{{\text{V1}}}} + b{F_{{\text{V2}}}} - b{F_{{\text{V3}}}} - b{F_{{\text{V4}}}}} \\ { - a{F_{{\text{V1}}}} + a{F_{{\text{V2}}}} + a{F_{{\text{V3}}}} - a{F_{{\text{V4}}}}} \\ 0 \end{array}} \right) $$ (5) 式中：
$ {F_{{\text{V}}1}} $ 、$ {F_{{\text{V}}2}} $ 、$ {F_{{\text{V}}3}} $ 、$ {F_{{\text{V}}4}} $ 为音圈电机V1～V4在$ {\textit{z}} $ 轴方向产生的驱动力，沿$ {\textit{z}} $ 轴方向为正，反之为负。由于FSM驱动通常采用推拉方式，各音圈电机在$ {\textit{z}} $ 轴方向的合力为零。基于上述动力学分析，可得反射镜负载平移运动
${\left( {{x_o}{\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {y_o}{\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\textit{z}}_o}} \right)^{\text{T}}}$ 的运动微分方程为$$ \left\{ \begin{gathered} m{{\ddot x}_o} + {c_x}{{\dot x}_o} + {k_x}{x_o} = {c_x}{{\dot x}_i} + {k_x}{x_i} \\ m{{\ddot y}_o} + {c_y}{{\dot y}_o} + {k_y}{{\dot y}_o} = {c_y}{{\dot y}_i} + {k_y}{y_i} \\ m{{\ddot {\textit{z}}}_o} + {c_{\textit{z}}}{{\dot {\textit{z}}}_o} + {k_{\textit{z}}}{{\textit{z}}_o} = {c_{\textit{z}}}{{\dot {\textit{z}}}_i} + {k_{\textit{z}}}{{\textit{z}}_i} \\ \end{gathered} \right. $$ (6) 反射镜负载绕
$ o $ 点转动的运动微分方程为$$ \left\{ \begin{gathered} {I_{xx}}{{\ddot \alpha }_o} + {c_\alpha }{{\dot \alpha }_o} + {k_\alpha }{\alpha _o} = {c_\alpha }{{\dot \alpha }_i} + {k_\alpha }{\alpha _i} - {k_y}\Delta {\textit{z}}\left( {{y_o} - {y_i}} \right) + {k_{\textit{z}}}\Delta y\left( {{{\textit{z}}_o} - {{\textit{z}}_i}} \right) + b{F_{{\text{V1}}}} + b{F_{{\text{V2}}}} - b{F_{{\text{V}}3}} - b{F_{{\text{V}}4}} \\ {I_{yy}}{\beta _o} + {c_\beta }{{\dot \beta }_o} + {k_\beta }{\beta _o} = {c_\beta }{{\dot \beta }_i} + {k_\beta }{\beta _i} + {k_x}\Delta {\textit{z}}\left( {{x_o} - {x_i}} \right) - {k_{\textit{z}}}\Delta x\left( {{{\textit{z}}_o} - {{\textit{z}}_i}} \right) - a{F_{{\text{V}}1}} + a{F_{{\text{V}}2}} + a{F_{{\text{V}}3}} - a{F_{{\text{V}}4}} \\ \end{gathered} \right. $$ (7) 当负载质心偏离柔性铰链转动中心的位置
$\Delta x = \Delta y = \Delta {\textit{z}} = 0$ 时，转动的运动微分方程为$$ \left\{ \begin{gathered} {I_{xx}}{{\ddot \alpha }_o} + {c_\alpha }{{\dot \alpha }_o} + {k_\alpha }{\alpha _o} = {c_\alpha }{{\dot \alpha }_i} + {k_\alpha }{\alpha _i} + b{F_{{\text{V}}1}} + b{F_{{\text{V}}2}} - b{F_{{\text{V}}3}} - b{F_{{\text{V}}4}} \\ {I_{yy}}{\beta _o} + {c_\beta }{{\dot \beta }_o} + {k_\beta }{\beta _o} = {c_\beta }{{\dot \beta }_i} + {k_\beta }{\beta _i} - a{F_{{\text{V}}1}} + a{F_{{\text{V}}2}} + a{F_{{\text{V}}3}} - a{F_{{\text{V}}4}} \\ \end{gathered} \right. $$ (8) 此时基座的线运动不会耦合出反射镜负载的角运动。
选用结构固有频率（平动固有频率、转动固有频率）来表征柔性铰链的结构特性。由式（6）可得柔性铰链的无阻尼平动固有频率（定义为非工作轴固有频率）为
$$ {f_{nx}} = \frac{1}{{2{\text{π }}}}\sqrt {\frac{{{k_x}}}{m}} \text{，} {f_{ny}} = \frac{1}{{2{\text{π }}}}\sqrt {\frac{{{k_y}}}{m}} \text{，} {f_{n{\textit{z}}}} = \frac{1}{{2{\text{π }}}}\sqrt {\frac{{{k_{{z}}}}}{m}} $$ (9) 由式（8）可得柔性铰链绕
$ x $ 轴、$ y $ 轴的无阻尼转动固有频率（定义为工作轴固有频率）为$$ {f_{rx}} = \frac{1}{{2{\text{π }}}}\sqrt {\frac{{{k_\alpha }}}{{{I_{xx}}}}} \text{，} {f_{ry}} = \frac{1}{{2{\text{π }}}}\sqrt {\frac{{{k_\beta }}}{{{I_{yy}}}}} $$ (10) 在柔性铰链结构设计时，允许绕2个工作轴转动（绕
$ x $ 轴和绕$ y $ 轴转动），即要求$ {f_{rx}} $ 、$ {f_{ry}} $ 较小，同时限制非工作轴方向的自由度，即要求$ {f_{nx}} $ 、$ {f_{ny}} $ 、$ {f_{n{\textit{z}}}} $ 远大于$ {f_{rx}} $ 、$ {f_{ry}} $ ，且越大越好。$ {\textit{z}} $ 轴为反射镜镜面的法线方向，绕$ {\textit{z}} $ 轴的转动不改变光束指向，但为了减少各自由度运动耦合，要求在绕$ {\textit{z}} $ 轴的转动方向上应具有大的刚度。2.2 被控对象传递函数
音圈电机作为驱动元件，具有精度高、频率响应快等特点，音圈电机结构如图3（a）所示。线圈绕组置于永磁体磁场中，当线圈绕组中电流为
$ i $ 时，线圈受到的安培力为$ {K_t}i $ （$ {K_t} $ 为电机力矩系数），与永磁体的磁感应强度、每匝线圈在磁场中的有效长度、线圈匝数等有关。安培力的方向根据电流方向和磁场方向由左手定则确定，因此可通过改变电流的大小和方向控制音圈电机输出力的大小和方向。图3（b）为音圈电机的等效电路图。假设音圈电机的电阻为
$ {R_v} $ 、电感为$ {L_v} $ 、反电动势系数为$ {K_e} $ 、电机力矩系数为$ {K_t} $ ，根据基尔霍夫定律可得各个音圈电机的电压平衡方程：$$ {U_k} = {L_v}\frac{{{\text{d}}{i_k}}}{{{\text{d}}t}} + {R_v}{i_k} + {K_e}\frac{{{\text{d}}{{\textit{z}}_k}}}{{{\text{d}}t}} $$ (11) 式中：
$ k = 1{\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 3{\kern 1pt} {\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 4 $ ；${{\textit{z}}_k}$ 为音圈电机动子的线位移。各个音圈电机的输出力为$$ {F_{Vk}} = {K_t}{i_k} $$ (12) 基于极小范数法对控制解耦，各个音圈电机的控制电压
$ {U_k} $ 与两转动轴控制电压$ {U_\alpha } $ 、$ {U_\beta } $ 间的关系为$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{U_1}} \\ {{U_2}} \\ {{U_3}} \\ {{U_4}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{1}{{4b}}}&{ - \dfrac{1}{{4a}}} \\ {\dfrac{1}{{4b}}}&{\dfrac{1}{{4a}}} \\ { - \dfrac{1}{{4b}}}&{\dfrac{1}{{4a}}} \\ { - \dfrac{1}{{4b}}}&{ - \dfrac{1}{{4a}}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{U_\alpha }} \\ {{U_\beta }} \end{array}} \right) $$ (13) 在不考虑基座扰动的情况下，绕
$ x $ 轴、绕$ y $ 轴的动力学方程分别为$$ {I_{xx}}\ddot \alpha + {c_\alpha }\dot \alpha + {k_\alpha }\alpha = b{F_{{\text{V1}}}} + b{F_{{\text{V2}}}} - b{F_{{\text{V3}}}} - b{F_{{\text{V4}}}} $$ (14) $$ {I_{yy}}\ddot \beta + {c_\beta }\dot \beta + {k_\beta }\beta = - a{F_{{\text{V1}}}} + a{F_{{\text{V2}}}} + a{F_{{\text{V3}}}} - a{F_{{\text{V4}}}} $$ (15) 将式（11）～式（13）代入式（14）和式（15）中，并对方程进行拉普拉斯变化，经代数运算后得到传递函数：
$$ \begin{split} &\frac{{\alpha \left( s \right)}}{{{U_\alpha }\left( s \right)}} =\\ &\dfrac{{{K_t}}}{{{I_{xx}}{L_v}{s^3} + \left( {{I_{xx}}{R_v} + {c_\alpha }{L_{\text{v}}}} \right){s^2} + \left( {{c_\alpha }{R_v} + {k_\alpha }{L_v} + 4{K_t}{K_e}{b^2}} \right)s + {k_\alpha }{R_v}}} \end{split} $$ (16) $$ \begin{split} &\frac{{\beta \left( s \right)}}{{{U_\beta }\left( s \right)}} =\\ &\dfrac{{{K_t}}}{{{I_{yy}}{L_v}{s^3} + \left( {{I_{yy}}{R_v} + {c_\beta }{L_v}} \right){s^2} + \left( {{c_\beta }{R_v} + {k_\beta }{L_v} + 4{K_t}{K_e}{a^2}} \right)s + {k_\beta }{R_v}}} \end{split} $$ (17) 考虑到音圈电机电感较小，舍去分母中的三次项，此时传递函数变为
$$ \frac{{\alpha \left( s \right)}}{{{U_\alpha }\left( s \right)}} = \frac{{{K_t}}}{{{K_\alpha }{R_v}}}\frac{{\omega _{r\alpha }^2}}{{{s^2} + 2{\xi _\alpha }{\omega _{r\alpha }}s + \omega _{r\alpha }^2}} $$ (18) $$ \frac{{\beta \left( s \right)}}{{{U_\beta }\left( s \right)}} = \frac{{{K_t}}}{{{K_\beta }{R_v}}}\frac{{\omega _{r\beta }^2}}{{{s^2} + 2{\xi _\beta }{\omega _{r\beta }}s + \omega _{r\beta }^2}} $$ (19) 式中：
$ {\omega _{r\alpha }} $ 、$ {\omega _{r\beta }} $ 为增加音圈电机模型后绕$ x $ 轴和绕$ y $ 轴转动方向的谐振频率；$ {\xi _\alpha } $ 、$ {\xi _\beta } $ 分别为对应的阻尼比，即：$$ {\omega _{r\alpha }} = \sqrt {\frac{{{K_\alpha }{R_v}}}{{{I_{xx}}{R_v} + {c_\alpha }{L_v}}}} ,\;\;\; {\xi _\alpha } = \frac{{{c_\alpha }{R_v} + {K_\alpha }{L_v} + 4{K_t}{K_e}{b^2}}}{{2\sqrt {{K_\alpha }{R_v}\left( {{I_{xx}}{R_v} + {c_\alpha }{L_v}} \right)} }} $$ $$ {\omega _{r\beta }} = \sqrt {\frac{{{K_\beta }{R_v}}}{{{I_{yy}}{R_v} + {c_\beta }{L_v}}}} ,\;\;\; {\xi _\beta } = \frac{{{c_\beta }{R_v} + {K_\beta }{L_v} + 4{K_t}{K_e}{a^2}}}{{2\sqrt {{K_\beta }{R_v}\left( {{I_{yy}}{R_v} + {c_\beta }{L_v}} \right)} }} $$ 2.3 基座扰动隔离传递函数
在仅考虑柔性铰链结构特性，控制系统不工作（即音圈电机输出力为0）情况下，负载转动的运动微分方程为
$$ \left\{ \begin{gathered} {I_{xx}}{{\ddot \alpha }_o} + {c_\alpha }{{\dot \alpha }_o} + {k_\alpha }{\alpha _o} = {c_\alpha }{{\dot \alpha }_i} + {k_\alpha }{\alpha _i} - {k_y}\Delta {\textit{z}}\left( {{y_o} - {y_i}} \right) + {k_{\textit{z}}}\Delta y\left( {{{\textit{z}}_o} - {{\textit{z}}_i}} \right) \\ {I_{yy}}{\beta _o} + {c_\beta }{{\dot \beta }_o} + {k_\beta }{\beta _o} = {c_\beta }{{\dot \beta }_i} + {k_\beta }{\beta _i} + {k_x}\Delta {\textit{z}}\left( {{x_o} - {x_i}} \right) - {k_{\textit{z}}}\Delta x\left( {{{\textit{z}}_o} - {{\textit{z}}_i}} \right) \\ \end{gathered} \right. $$ (20) 对式（6）和式（20）进行拉普拉斯变化，经代数运算后可得对基座上线加速度扰动
$ {a_x} $ 、$ {a_y} $ 、${a_{\textit{z}}}$ 的隔离传递函数分别为$$ \left\{ \begin{gathered} \frac{{\alpha \left( s \right)}}{{{a_x}\left( s \right)}} = 0 \\ \frac{{\alpha \left( s \right)}}{{{a_y}\left( s \right)}} = \frac{1}{{{I_{xx}}{s^2} + {c_\alpha }s + {k_\alpha }}}\frac{{m{k_y}\Delta {\textit{z}}}}{{m{s^2} + {c_y}s + {k_y}}} \\ \frac{{\alpha \left( s \right)}}{{{a_{\textit{z}}}\left( s \right)}} = - \frac{1}{{{I_{xx}}{s^2} + {c_\alpha }s + {k_\alpha }}}\frac{{m{k_{\textit{z}}}\Delta y}}{{m{s^2} + {c_{\textit{z}}}s + {k_{\textit{z}}}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (21) $$ \left\{ \begin{gathered} \frac{{\beta \left( s \right)}}{{{a_x}\left( s \right)}} = - \frac{1}{{{I_{yy}}{s^2} + {c_\beta }s + {k_\beta }}}\frac{{m{k_x}\Delta {\textit{z}}}}{{m{s^2} + {c_x}s + {k_x}}} \\ \frac{{\beta \left( s \right)}}{{{a_y}\left( s \right)}} = 0 \\ \frac{{\beta \left( s \right)}}{{{a_{\textit{z}}}\left( s \right)}} = \frac{1}{{{I_{yy}}{s^2} + {c_\beta }s + {k_\beta }}}\frac{{m{k_{\textit{z}}}\Delta x}}{{m{s^2} + {c_{\textit{z}}}s + {k_{{z}}}}} \\ \end{gathered} \right. $$ (22) 由上式可知，基座上沿
$ x $ 轴的线运动不会耦合出反射镜负载绕$ x $ 轴的转动，沿$ y $ 轴方向的线运动不会耦合出反射镜负载绕$ y $ 轴的转动。当负载质心偏离柔性铰链转动中心时，沿$ y $ 轴、${\textit{z}}$ 轴的线运动会耦合出反射镜负载绕$ x $ 轴的转动，其特性分别与柔性铰链绕$ x $ 轴的转动固有频率、沿$ y $ 轴和${\textit{z}}$ 轴的平动固有频率有关。沿$ x $ 轴、${\textit{z}}$ 轴的线运动会耦合出反射镜负载绕$ y $ 轴的转动，其特性分别与柔性铰链绕$ y $ 轴的转动固有频率、沿$ x $ 轴和$ {\textit{z}} $ 轴的平动固有频率有关。对基座上角速率扰动
$ {\omega _x} $ 、$ {\omega _y} $ 、$ {\omega _{\textit{z}}} $ 的隔离传递函数分别为$$ \left\{ \begin{gathered} \frac{{\alpha \left( s \right)}}{{{\omega _x}\left( s \right)}} = - \frac{{{I_{xx}}s}}{{{I_{xx}}{s^2} + {c_\alpha }s + {k_\alpha }}} \\ \frac{{\alpha \left( s \right)}}{{{\omega _y}\left( s \right)}} = 0 \\ \frac{{\alpha \left( s \right)}}{{{\omega _{\textit{z}}}\left( s \right)}} = 0 \\ \end{gathered} \right. $$ (23) $$ \left\{ \begin{gathered} \frac{{\beta \left( s \right)}}{{{\omega _x}\left( s \right)}} = 0 \\ \frac{{\beta \left( s \right)}}{{{\omega _y}\left( s \right)}} = - \frac{{{I_{yy}}s}}{{{I_{yy}}{s^2} + {c_\beta }s + {k_\beta }}} \\ \frac{{\beta \left( s \right)}}{{{\omega _{\textit{z}}}\left( s \right)}} = 0 \\ \end{gathered} \right. $$ (24) 由此可知，反射镜负载绕
$ x $ 轴的转动仅由基座上绕$ x $ 轴的角扰动引起，与基座上绕$ y $ 轴、${{\textit{z}}}$ 轴的角扰动无关。反射镜负载绕$ y $ 轴的转动仅由基座上绕$ y $ 轴的角扰动引起，与基座上绕$ x $ 轴、${{\textit{z}}}$ 轴的角扰动无关。其对基座角扰动隔离特性与绕$ x $ 轴和$ y $ 轴的转动固有频率有关。3 FSM仿真分析
3.1 FSM仿真模型
根据上述建立的FSM动力学方程和音圈电机理论模型，并增加音圈电机驱动器、角度传感器、控制器、以及基座扰动等仿真模型，搭建了FSM的全系统 Matlab/Simulink仿真模型，如图4所示。
3.2 结构固有频率对被控对象特性影响分析
在音圈电机选定的情况下，分析柔性铰链不同结构固有频率对被控对象特性的影响。以绕
$ x $ 轴转动为例，以控制电压$ {U_\alpha } $ 为输入，负载相对基座绕$ x $ 轴的转角$ \alpha $ 为输出，得到被控对象的幅频特性和相频特性曲线，如图5所示。从图5可以看出，在音圈电机参数确定情况下，随着转动固有频率的增加，阻尼比$ {\xi _\alpha } $ 减小；当转动固有频率较小时，系统为过阻尼系统（$ {\xi _\alpha } \gt 1 $ ），幅频特性曲线不会出现谐振峰；当转动固有频率较大时，系统为欠阻尼系统（$ {\xi _\alpha } \lt 1 $ ），幅频特性曲线会出现谐振峰。当反射镜负载质心偏离柔性铰链支承中心时，基座上的线运动会耦合为反射镜负载的角运动，分析不同结构固有频率下，被控对象对线加速度运动的扰动隔离性能。根据实际加工的柔性铰链模态测试结果，设定工作轴固有频率为5 Hz、20 Hz和50 Hz，设定非工作轴的固有频率为300 Hz、600 Hz和900 Hz。以工作轴固有频率为5 Hz、20 Hz、50 Hz，非工作轴固有频率为300 Hz为例，绘制了其对基座线加速度扰动的隔离曲线，如图6（a）所示。从图6（a）可以看出，随着转动固有频率（或工作轴固有频率）的增加，对基座低频区域线加速度扰动的隔离性能提升了，在转动固有频率（50 Hz）附近隔振性能稍有降低，在非工作轴固有频率处存在谐振峰，对高频区域扰动的隔离性能不变。以工作轴固有频率为20 Hz，非工作轴固有频率为300 Hz、600 Hz、900 Hz为例，绘制了其对基座线加速度扰动的隔离曲线，如图6（b）所示。从图6（b）可以看出，对低频区域扰动的隔离性能基本一致，但随着非工作轴固有频率的增加，在非工作轴固有频率处谐振峰值下降。
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图 6 不同结构固有频率下对线加速度扰动隔离曲线Figure 6. Rejection curves for linear acceleration disturbance with different structural natural frequency快速反射镜基座上也存在角扰动，分析不同转动固有频率下，被控对象对基座角速率运动的扰动隔离性能。以工作轴固有频率为5 Hz、20 Hz、50 Hz，非工作轴固有频率为300 Hz为例，绘制了其对基座角速率扰动的隔离曲线，如图7（a）所示。从图7（a）可以看出，随着转动固有频率的增加，对低频区域扰动的隔离性能提升了，在转动频率附近隔振性能稍有降低，对高频区域的隔离性能保持不变，且在非工作轴固有频率处未出现谐振峰。以工作轴固有频率为20 Hz，非工作轴固有频率为300 Hz、600 Hz、900 Hz为例，绘制了其对基座角速率扰动的隔离曲线，如图7（b）所示。从图7（b）可以看出，改变非工作轴固有频率，对基座角速率扰动的隔离曲线保持不变，说明非工作轴固有频率对基座角扰动隔离性能无影响。
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图 7 不同结构固有频率下对角速率扰动隔离曲线Figure 7. Rejection curves for angular rate disturbance with different structural natural frequency3.3 结构固有频率对FSM控制性能影响分析
假定FSM的工作轴固有频率为5 Hz，非工作轴固有频率为300 Hz，控制器采用经典PID控制，经PID参数整定后，控制系统的开环传递函数和闭环传递函数如图8所示。从图8可知，系统增益交界频率为300 Hz，相位裕度为60°；相位交界频率为421 Hz，增益裕量为40.1 dB；系统的闭环带宽(−3 dB)为480 Hz。
保持控制器参数不变，非工作轴固有频率为300 Hz，改变FSM工作轴转动固有频率，得到系统的闭环传递函数曲线，如图9所示。从图9可以看出，随着转动固有频率的增加，系统的控制性能变差，转动固有频率越小，对控制性能越有利。以对10 Hz指令信号跟踪为例，如图10所示，工作轴固有频率为50 Hz时，输出信号的幅值为指令信号的80%，跟踪偏差较大，主要由转动固有频率较大时系统为欠阻尼系统引起的。引入速度反馈对谐振峰值进行抑制，闭环传递函数曲线如图11所示。从图11可以看出，速度反馈可提升FSM控制性能。
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图 9 不同转动固有频率下FSM控制系统传递曲线Figure 9. Transfer curves of FSM control system with different rotation natural frequencies![]()
图 11 含速率反馈FSM控制系统传递曲线Figure 11. Transfer curves of FSM control system with rate feedback在FSM闭环控制下，分析反射镜基座线运动隔离性能。以工作轴固有频率为5 Hz、20 Hz、50 Hz，非工作轴固有频率为300 Hz为例，绘制了FSM闭环控制系统对基座线加速度扰动的隔离曲线，如图12（a）所示。从图12（a）可以看出，随着转动固有频率（或工作轴固有频率）的增加，对基座低频区域线加速度扰动的隔离性能有提升，在非工作轴固有频率处存在谐振峰。以工作轴固有频率为20 Hz，非工作轴固有频率为300 Hz、600 Hz、900 Hz为例，绘制了FSM闭环控制系统对基座线加速度扰动的隔离曲线，如图12（b）所示。从图12（b）可以看出，FSM闭环控制系统对低频区域扰动的隔离性能基本一致，随着非工作轴固有频率的增加，在非工作轴固有频率处谐振峰值下降。
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图 12 不同结构固有频率下FSM闭环控制系统对线加速度扰动隔离曲线Figure 12. Rejection curves for linear acceleration disturbance of FSM closed-loop control system with different structural natural frequencies同样在FSM闭环控制下，分析反射镜基座角扰动的隔离性能。以工作轴固有频率为5 Hz、20 Hz、50 Hz，非工作轴固有频率为300 Hz为例，绘制了其对基座角速率扰动的隔离曲线，如图13（a）所示。从图13（a）可以看出，随着转动固有频率的增加，FSM闭环控制系统对低频区域扰动的隔离性能提升了，对中频区域扰动隔离性能变差，对高频区域的隔离性能保持不变，在非工作轴固有频率处未出现谐振峰。以工作轴固有频率为20 Hz，非工作轴固有频率为300 Hz、600 Hz、900 Hz为例，绘制了其对基座角速率扰动的隔离曲线，如图13（b）所示。从图13（b）可知，非工作轴固有频率对基座角速率扰动隔离曲线无影响。
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图 13 不同结构固有频率下FSM闭环控制系统对角速率扰动隔离曲线Figure 13. Rejection curves for angular rate disturbance of FSM closed-loop control system with different structural natural frequencies4 FSM振动试验
对在研FSM进行模态测试，测得转动轴固有频率为25 Hz左右，非工作轴固有频率为515 Hz左右；伺服系统调试后，开环穿越频率为293 Hz，相位裕度设置为52°。开展随机振动试验，随机振动功率谱如图14（a）所示；通过加速度计测量振动台的线加速度，如图14（b）所示。利用FSM内电涡流传感器测量伺服使能前后FSM的角位置信号，结果如图15所示。对角位置信号进行功率谱分析，与振动台功率谱比较，求得FSM对线振动的隔离度曲线，如图16所示。从图16可以看出，在511 Hz附近存在谐振峰，与非工作轴固有频率接近，与仿真分析结果一致，验证了仿真模型的正确性。另外，实际系统在733 Hz处结构谐振，可能为反射镜镜体自身的结构特性，在所建立的模型中无法表征。
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图 16 随机振动下FSM对线加速度扰动隔离曲线Figure 16. Rejection curves for linear acceleration disturbance of FSM with random vibration5 结论
通过对FSM理论建模与仿真分析，并通过振动试验对仿真模型进行了验证，得到以下结论：
1） 被控对象特性与电机选型和转动固有频率等有关。在音圈电机选定后，转动固有频率较小时，被控对象为过阻尼系统，其传递函数曲线不会出现谐振峰；转动固有频率较大时，被控对象为欠阻尼系统，其传递函数曲线存在谐振峰，通过速率反馈，可将被控对象调整为临界阻尼系统，从而提升FSM控制性能。
2） 当负载质心偏离柔性铰链转动中心时，反射镜基座的线运动会耦合出角运动，并在平动固有频率处存在谐振峰，而且平动固有频率越高，引起的谐振幅值越小，因此FSM结构设计时非工作轴固有频率越大越好。
3） 对反射镜基座角扰动的隔离性能是：在低频区域转动固有频率增加，对角扰动的隔离性能越好；在中频区域转动固有频率增加，对角扰动的隔离性能变差；在高频区域对角扰动的隔离性能基本保持不变。随着转动固有频率的增大，为了克服柔性铰链弹性力，对音圈电机输出力要求较高，但由于尺寸、重量限制，音圈电机的选择受到限制。在音圈电机选定后，转动固有频率选择过大时，被控对象会出现谐振峰，使得FSM控制系统复杂或达不到性能要求，因此需要权衡各方面因素，对转动固有频率进行选取。
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图 1 纳米砖单元结构及共振原理示意图
Figure 1. Schematic diagram of nanobrick unit structure and resonance principle
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图 2 同向偏振和交叉偏振的反射率(波长从500 nm到700 nm)
Figure 2. Reflectivity of cross-polarized and co-polarized light versus wavelength(500 nm~700 nm)
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图 3 同向偏振反射率、交叉偏振反射率和相移θ与纳米砖转角Φ的关系(λ=633 nm)
Figure 3. Reflectivity in power and phase shift versus orientation angle Φ. Cross-polarized light reflective efficiency-angle relation, co-polarized light reflective efficiency-angle relation and phase shift-angle relation(wavelength is set with 633 nm)
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图 4 工作在不同波长下的相邻纳米砖引起的近场耦合效应对相位偏差的影响
Figure 4. Simulated phase deviation caused by near-field coupling of adjacent nanobricks at different working wavelengths
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图 5 扇出元件工作原理图及仿真结果
Figure 5. Working principle and simulation results of fan-out elements
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