Research on a kind of precision rotary drive mechanism
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摘要: 两轴四框结构光电吊舱，内框多采用力矩电机直驱，稳定精度仅为数10 μrad。为达到更高精度的μrad量级，提出一种压电陶瓷驱动柔性支承的精级回转驱动机构，作为光电吊舱的内框驱动。介绍了精级回转驱动机构的构型方案，并对压电陶瓷的驱动能力进行了探讨，对柔性支承的回转刚度、固有频率、几何参数进行了详细设计。建立了机电仿真模型，制造了原理样机并进行了性能测试，其主要性能指标为：行程509.1 μrad，分辨率优于0.5 μrad，1 Hz、100 μrad的正弦信号跟踪误差小于3 μrad，固有频率约1 kHz，均满足设计目标。Abstract: The inner gimbal of electro-optical pod with two-axis and four-gimbal structure is usually driven directly by torque motor, its stability accuracy is only tens of micro radians. To achieve the stability accuracy of several micro radians, a flexure-based precision rotary drive mechanism driven by piezoelectric actuators was proposed, which acted as the inner drive of electro-optical pod. The configuration scheme of precision rotary drive mechanism was introduced, and the drive capability of piezoelectric ceramics was explored. The rotation stiffness, resonance frequency and geometric parameters were designed in detail. The electromechanical simulation model was obtained. In addition, a prototype was fabricated and tested for performance verification. The results show that the travel range is 509.1 μrad, the resolution is better than 0.5 μrad, the sinusoidal signal tracking error of 1 Hz and 100 μrad is less than 3 μrad, and the resonance frequency is about 1 KHz. These results can all meet the design goals.
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引言
作为光电吊舱发展趋势的第4代光电稳描技术，主要特征为高分辨率(1 024 pixel×1 024 pixel)、高稳定精度(< 10 μrad)、高伺服带宽(200 Hz)，可精确控制光束指向，补偿大气扰动、载体振动引起的光束偏转和成像噪声[1]。两轴四框结构是高精度光电吊舱的主要形式，其结构如图 1所示。外框用于粗稳定，多为直流电机加减速器，可扩展转动范围并随动内框工作。内框用于精稳定，多用力矩电机直驱，受力矩电机制造精度的制约，其精度很难达到μrad量级。而光电吊舱的稳定精度主要取决于内框，传统的内框驱动形式已无法适应第4代光电稳描技术[2]，近年来，很多学者开始探索其新型内框驱动形式。
该精级回转驱动机构由压电陶瓷驱动柔性支承进行转动，与传统的力矩电机相比，其具有分辨率高、无需轴承、结构紧凑、驱动力矩大、频响快等优点。随着谐波组件、柔索传动应用于外框，外框精度不断提高，降低了对内框驱动工作行程的要求，为该精级回转驱动机构应用于内框创造了条件[3-6]。
本文介绍了精级回转驱动机构的构型，对柔性支承的回转刚度与固有频率进行了理论推导与有限元仿真，通过优化设计得到了柔性支承的几何参数，并探讨了精级回转驱动机构的驱动能力。建立了机电仿真模型，并对原理样机进行了性能测试。
1 精级回转驱动机构的构型
针对该精级回转驱动机构的应用背景与特点，需要对其整体布局、关键结构的设计及总体目标的确定进行详细规划。
1.1 精级回转驱动机构的组成
精级回转驱动机构由柔性支承、压电陶瓷、定位预紧块、预紧螺钉、电容位移传感器、粗精两级转接件组成，内框为动平台，连接负载，外框为定平台，连接粗精两级转接件，如图 2所示。调节预紧螺钉，对压电陶瓷进行预紧，使其驱动柔性支承转动，电容位移传感器检测动平台转角并作为反馈信号实现闭环控制。
1.2 柔性支承的设计思想
柔性支承由4个直角型柔性铰链并联对称组成，可减小偏心误差，内部镶嵌电容位移传感器，通过检测动平台特定位置位移来获得动平台转角，检测位置为能达到的动平台最外侧，从而使动平台在转动一定角度时，传感器敏感到的位移量最大，起到提高运动分辨率，降低传感器要求的作用。柔性支承动平台与定平台均有安装孔，以便与负载及粗精两级转接件相连[7-8]，如图 3所示。
1.3 精级回转驱动机构的设计目标
精级回转驱动机构的工作行程应大于粗级驱动(谐波组件或柔索传动)的精度(优于400 μrad)，才能补偿其传动误差，实现大行程、高精度回转定位。第4代光电稳描技术要求稳定精度优于10 μrad，如此高的稳定精度，分辨率应达到亚微弧度级，同时要求其转角为400 μrad时具有一定的负载能力。综上所述，设计目标见表 1所示。
表 1 精级回转驱动机构设计目标Table 1. Design goal of precision rotary drive mechanism工作行程
/μrad稳定精度
/μrad分辨率
/μrad固有频率
/Hz负载能力
/Nm≥400 ≤5 ≤0.5 ≥400 ≥50 2 柔性支承的设计
柔性支承设计的关键问题有回转刚度、一阶固有频率及几何参数，采用理论推导、有限元仿真及优化设计的方法对上述关键问题进行研究，并结合所选压电陶瓷，对精级回转驱动机构的驱动能力进行探讨。
2.1 回转刚度与一阶固有频率的理论推导
柔性支承动平台受到转矩MZ时，柔性铰链与动平台铰接点的力和力矩分别为Fe和Me，且4个柔性铰链受力相同。柔性支承的几何参数L、b、t、r的含义如图 4所示。用材料力学知识进行受力分析[9]。
悬臂梁受力和力矩的挠度vB与转角θ为
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{v_B} = \frac{{{F_e}{L^3}}}{{3E{I_z}}} + \frac{{{M_e}{L^2}}}{{2E{I_z}}}}\\ {\theta = \frac{{{F_e}{L^2}}}{{2E{I_z}}} + \frac{{{M_e}L}}{{E{I_z}}}} \end{array}} \right. $$ (1) 式中：E为弹性模量；IZ为柔性铰链Z轴惯性矩。柔性铰链与动平台铰接点的固连约束条件为
$$ {v_B} = \theta \times r $$ (2) 柔性铰链力矩平衡方程为
$$ \frac{{{M_z}}}{4} = {F_e} \times r - {M_e} $$ (3) 由(1)式、(2)式、(3)式得：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{M_r} = \frac{{3Lr - 2{L^2}}}{{3L - 6r}}{F_e}}\\ {{M_z} = \frac{{24{r^2} - 8{L^2}}}{{6r - 3L}}{F_e}} \end{array}} \right. $$ (4) 由(1)式、(4)式得动平台转角θ：
$$ \theta = \frac{{{L^3}{F_e}}}{{2EI\left( {6r - 3L} \right)}} $$ (5) 由(4)式、(5)式得柔性支承回转刚度Kθz：
$$ {K_{\theta z}} = \frac{{{M_z}}}{\theta } = \frac{{4Eb{t^3}\left( {3{r^2} - {L^2}} \right)}}{{3{L^3}}} $$ (6) 同理得柔性支承其他方向刚度：
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{K_z} = \frac{{4EGt{b^3}}}{{EL{b^2} + 4G{L^3}}}}\\ {{K_x} = {K_y} = \frac{{2Etb}}{L} + \frac{{2EGb{t^3}}}{{E{t^2}l + 4G{l^3}}}}\\ {{K_{\theta x}} = {K_{\theta y}} = \frac{{2\beta Gb{t^3}}}{L} + \frac{{2Et{b^3}\left( {3{r^2} - {L^2}} \right)}}{{3{L^3}}}} \end{array}} \right. $$ (7) 式中：G为材料的切变模量；β为矩形截面杆扭转时的截面因数。
非工作方向与工作方向刚度的高比值是柔顺机构设计的显著特征，因此所设计柔性支承的工作方向固有频率，远低于非工作方向固有频率(见2.3节)，直接影响精级回转驱动机构的伺服带宽。此外，工作方向固有频率已远高于精级回转驱动机构200 Hz伺服带宽的指标要求(见2.3节)，故仅对工作方向固有频率进行分析。
取动平台转角θ为广义坐标q，采用拉格朗日方程表示柔性支承的动能与势能关系：
$$ \frac{d}{{{\rm{d}}t}} \cdot \frac{{\partial L}}{{\partial {{\dot \theta }_j}}} - \frac{{\partial L}}{{\partial {\theta _j}}} = 0\left( {j = 1} \right) $$ (8) 式中：L=T-U，T为动能，U为势能。
柔性铰链变形极小，且质量远小于动平台，忽略柔性铰链的动能[10]，柔性支承的动能T近似为
$$ T = \frac{1}{2}J{w^2} = \frac{1}{2}J{{\dot \theta }^2} $$ (9) 式中J为动平台Z轴转动惯量。系统势能U为
$$ U = \frac{1}{2}{K_{\theta z}}{\theta ^2} $$ (10) 由(8)式、(9)式、(10)式得：
$$ J\ddot \theta + {K_{\theta z}}\theta = 0 $$ (11) 柔性支承固有频率f为
$$ f = \frac{1}{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}}}\sqrt {\frac{{{K_{\theta z}}}}{J}} $$ (12) 2.2 几何参数的优化设计
对柔性支承的几何参数进行优化设计[11]。非工作方向与工作方向刚度的高比值是进行柔顺机构设计的一个关键特征，可使其在实现工作方向较大行程的前提下具有较好的动态性能。以该准则建立目标函数，同时，以柔性支承的外形尺寸、材料的疲劳强度[11]、回转刚度的取值范围作为约束条件，建立优化模型：
$$ \left\{ \begin{array}{l} \min J = \frac{{{K_{\theta z}}}}{{{K_x}{K_z}{K_{\theta x}}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;\;\;L + r - 50 \le 0\\ {\sigma _{\max }} = \frac{{{\theta _{\max }} \times {K_{\theta z}}}}{{\left( {4 \times {W_z}} \right)}} \le \left[ {{\sigma _{ - 1}}} \right] = \frac{{\sigma _{ - 1}^0}}{n}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;5 \times {10^4} \le {K_{\theta z}} \le 1 \times {10^5} \end{array} \right. $$ (13) 式中：当动平台发生最大转角θmax时，柔性铰链铰接处位置产生最大弯曲应力σmax；[σ-1]为构件的疲劳许用应力；σ-10为构件的持久极限强度；n为安全系数；WZ为Z轴抗弯截面系数。
根据优化模型，以材料65Mn为例，对柔性支承的几何参数进行求解。其中，E为206 GPa，θmax为400 μrad，n取1.5，σ-1为65Mn材料受对称循环弯曲应力时的持久极限强度，其值为0.42 GPa。利用该值，可根据材料力学知识求得该构件的持久极限强度σ-10为0.27 GPa，采用Matlab全局最优算法GlobalSearch求解，并将最优解进行圆整，见表 2所示。
表 2 优化模型自变量Table 2. Independent variables of optimize model自变量 初值 范围 最优解 L/mm 20 10~30 12 b/mm 15 10~20 15 t/mm 2 1~3 2 r/mm 40 30~50 35 2.3 回转刚度与固有频率的有限元仿真
在Ansys Workbench中对柔性支承进行有限元仿真，动平台施加30 Nm绕Z轴转矩，转角为421.69 μrad。一阶模态值为2 515.5 Hz，振型为Z轴回转，二阶模态值为3 745.5 Hz，振型为Z轴平动，如图 5所示。回转刚度的仿真值K′θz为
$$ {{K'}_{\theta z}} = \frac{{30}}{{421.69}} = 0.071\;{\rm{Nm}}/\mu {\rm{rad}} $$ (14) 用Solidworks计算动平台Z轴转动惯量J为2.945×10-4 kg·m2，根据(12)式可得柔性支承固有频率的理论值，将理论与仿真值进行对比，结果见表 3所示，从而证明了理论方法的正确性。
表 3 柔性支承固有频率Table 3. Resonance frequency of flexible support理论计算/Hz 有限元仿真/Hz 相对误差/% 2 400.6 2 515.5 4.97 2.4 驱动能力的探讨
将表 2中的最优解代入(6)式，得Kθz理论值为0.067 Nm/μrad，进而得到动平台受力点处直线刚度KZ为37 N/μm，根据所选压电陶瓷参数，可得精级回转驱动机构工作行程的理论值θ′max：
$$ {{\theta '}_{\max }} = {L_0} \times \frac{{{K_A}}}{{{K_A} + {K_Z}}}/r = 509.7\mu {\rm{rad}} $$ (15) 式中：L0为压电陶瓷端电压为100 V时的空载位移；KA为压电陶瓷静态刚度；KZ为柔性支承在受力点处的等效直线刚度；r为柔性支承受力点距回转中心距离。
精级回转驱动机构输出转角为θ时，其最大负载力矩M包括两部分：一部分为柔性支承由于角度变小转换的负载力矩M1，一部分为压电陶瓷长度伸长量的减小转换的负载力矩M2。当精级回转驱动机构转角θ为400 μrad时，其最大负载力矩M为
$$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{M_1} = {K_{\theta z}} \times \left( {{{\theta '}_{\max }} - \theta } \right) = 0.067 \times 109.7 = 7.35\;{\rm{Nm}}}\\ {{M_2} = 2 \times {K_A} \times r \times \left( {{{\theta '}_{\max }} - \theta } \right) \times r = 2 \times 277 \times 0.03 \times 109.7 \times 0.03 = 54.7\;{\rm{Nm}}}\\ {M = {M_1} + {M_2} = 7.35 + 54.7 = 62.05\;{\rm{Nm}}} \end{array}} \right. $$ (16) 式中：KA为压电陶瓷静态刚度；r为柔性支承受力点距回转中心距离；Kθz为柔性支承回转刚度。
当精级回转驱动机构的输出转角为400 μrad时，其最大负载力矩M为62.05 Nm，满足设计目标中不小于50 Nm的负载能力。当θ变小时负载能力相应增强，具体数值可根据(16)式进行计算。
3 精级回转驱动机构的机电仿真模型
机电仿真模型在装备研制过程中有重要意义，本节将建立精级回转驱动机构的机电仿真模型并进行验证。
3.1 建立机电仿真模型的目的
建立包括驱动电源、压电陶瓷、柔性支承的机电仿真模型，输入为控制电压，输出为动平台转角，该模型能够仿真精级回转驱动机构的整个工作过程。
利用建立的仿真模型，可对精级回转驱动机构的回转刚度、工作行程、动态特性等进行仿真，从而基于模型设计的思想，对其进行参数化设计与仿真分析，可提高设计效率，降低设计成本[12]。
3.2 建立机电仿真模型的方法
采用集中参数与刚柔混合建模相结合的方法建立机电仿真模型如图 6所示。其中G4(s)采用基于Ansys和Adams的刚柔混合建模的方法求得[13]，其余采用集中参数的建模方法求得。
图 6中G1(s)为驱动电源传递函数，Kv为驱动电源放大系数，有：
$$ {G_1}(s) = \frac{{{U_1}(s)}}{{{U_0}(s)}} = {K_v} $$ (17) G2(s)为压电陶瓷电学传递函数。压电陶瓷的等效电路如图 7所示。图 7中E、UP分别为驱动电源放大后电压和压电陶瓷端电压。由基尔霍夫定律得G2(s)：
$$ {G_2}(s) = \frac{{{U_2}(s)}}{{{U_1}(s)}} = \frac{1}{{{R_0}{C_P}s + 1}} $$ (18) 式中：R0为驱动电源等效电阻；CP为压电陶瓷等效电容。
图 6中G3(s)为压电陶瓷零位移出力F0与端电压U2的传递函数，由压电陶瓷特性可得G3(s)：
$$ {G_3}(s) = \frac{{{F_0}(s)}}{{{U_2}(s)}} = {K_A}{K_E} $$ (19) 式中KA与KE分别为压电陶瓷静态刚度与空载电位移转换系数。
图 6中G4(s)为动平台转角θ与压电陶瓷零位移出力F0的传递函数，求取过程如图 8所示。
图 6中H(s)为压电陶瓷损失力F2与动平台转角θ的传递函数，电压一定时，压电陶瓷零位移出力最大，每增加单位长度，出力减小值等于刚度值，则H(s)为
$$ H(s) = \frac{{{F_2}(s)}}{{{\theta _{{\rm{rad}}}}(s)}} = {K_A} \cdot r $$ (20) 在Simulink中搭建仿真模型，如图 9所示。
3.3 机电仿真模型的验证
在原理样机性能测试部分，将仿真结果与试验结果在时域和频域进行对比，验证了仿真模型的正确性。
4 样机性能实验
我们关注的样机主要性能指标有分辨率、工作行程、固有频率、静态刚度、跟踪性能等，利用制作的样机搭建实验系统，对上述指标进行测试。
4.1 主要实验设备
实验过程中主要应用的实验设备有：
1) dSPACE1103半实物仿真系统。
2) 压电陶瓷驱动电源。型号为nPT-MC213-D，制造商为上海微泓，输入电压0~10 V，输出电压0~100 V。
3) 电容位移传感器。控制器型号DT6110/LC，传感器型号CHS02，制造商为德国米铱，分辨率20 nm，绝对误差0.4 μm，测量范围0~200 μm，带宽1 kHz(-3dB)。
4) 压力传感器。压力显示模块型号ST550LC，传感器型号VS16，制造商为深圳威斯特，量程500 N，非线性度0.08% R.O.。
5) 压电陶瓷。型号PTJ1501414201，制造商为苏州攀特，静态刚度360 N/μm，零位移出力7 200 N，空载行程20 μm，谐振频率75 kHz。
4.2 静态刚度测试
准确的刚度测试对提高柔性支承的设计效率与动态性能有重要意义，本文提出了一种刚度测试方法。该方法如图 10所示。通过施力螺钉对动平台施力，由压力显示模块读取，用高精度数字万用表读取电容位移传感器的值，从而获得动平台转角。图 11为典型刚度拟合曲线。表 4为静态刚度的理论、仿真、试验值的对比，从而验证了静态刚度的理论推导与有限元仿真的正确性。
表 4 柔性支承回转刚度Table 4. Rotaion stiffness of flexible support参数 理论推导 有限元仿真 试验测试 刚度值/(Nm/μrad) 0.067 0.071 0.066 相对误差/% 5.97 1.49 4.3 动态性能测试
动态性能是微动平台的主要指标，测试方法如图 12所示。通过dSPACE1103的DAC模块向压电陶瓷驱动电源发送控制电压，由其放大后输出，使压电陶瓷驱动柔性支承转动，用电容位移传感器检测动平台转角，并由dSPACE1103的ADC模块读取。
1) 仿真模型的开环特性验证
仿真模型的准确度决定了其是否能指导精级回转驱动机构的快速设计与性能预测，故通过试验对其开环时域与频域特性进行验证。
开环时域特性。通过DAC模块输入1 Hz、10 V正弦与方波信号，并与仿真结果对比，典型结果如图 13所示。表明该模型能够在一定程度上反映系统的时域特性，由图 13(a)可知精级回转驱动机构工作行程的仿真值为509.2 μrad。
开环频域特性。对实际系统与仿真模型进行定幅值(1μrad)、变频率(0~300 Hz)的开环扫频与系统辨识，传递函数与拟合度分别为G1(s)、92.21%，G2(s)、90.71%，典型结果如图 14所示。除因压电陶瓷非线性造成的增益不同外，二者相似度较高，根据传递函数可知固有频率约为1 kHz，满足高伺服带宽(＞200 Hz)的设计目标。
$$ {G_1}\left( s \right) = \frac{{35.094}}{{{{(0.001\;03s)}^2} + 2 \times 1.89 \times 0.001\;03s + 1}} $$ (21) $$ {G_1}\left( s \right) = \frac{{35.094}}{{{{(0.001\;03s)}^2} + 2 \times 1.89 \times 0.001\;03s + 1}} $$ (21) 2) 开环工作行程测试
工作行程直接决定精级驱动能否最大限度补偿粗级驱动的误差，是粗精复合的关键指标，故对其工作行程进行测试。输入不同幅值三角波，绘制转角电压曲线，典型结果如图 15所示。表 5为工作行程的理论、仿真、实验值的对比，验证了工作行程理论推导与仿真计算的正确性。
表 5 工作行程对比μrad Table 5. Contrast of travel rangeμrad 理论推导 机电联合仿真 试验测试 工作行程 509.7 509.2 509.1 3) 闭环分辨率测试
分辨率的大小直接决定了精级回转驱动机构的稳定精度，有重要意义，故对其分辨率进行测试。以阶梯信号作为控制指令进行测试，典型结果如图 16(a)所示，其分辨率优于0.5 μrad。阶梯值为50 μrad时，观察系统跟踪响应情况，典型结果如图 16(b)所示。
4) 闭环正弦信号跟踪性能测试
精级回转驱动机构需要动态补偿粗级驱动误差，这就要求其具有良好的跟踪性能，故对其正弦信号跟踪性能进行测试。施加1 Hz、100 μrad正弦信号，典型结果如图 17所示。由图 17可知，其跟踪误差小于3 μrad。
通过样机性能实验，对精级回转驱动机构的静态刚度、工作行程、分辨率、特定正弦信号的跟踪误差、固有频率进行了测试，并在时域与频域验证了机电仿真模型的正确性。
5 结论
本文提出了一种用于两轴四框光电吊舱内框驱动的精级回转驱动机构，得到了柔性支承的回转刚度与固有频率理论公式，与有限元仿真的相对误差分别为5.97%和4.79%，并对其几何参数进行了优化设计。建立了机电联合仿真模型。制造了原理样机并进行了性能测试，其静态刚度测试值与理论值误差为1.49%。将时域与频域开环特性的测试结果与仿真结果进行对比，验证了仿真模型的正确性。测试结果为：静态刚度0.066 Nm/μrad，行程509.1 μrad，分辨率优于0.5 μrad，1 Hz、100 μrad的正弦信号跟踪误差小于3 μrad，一阶固有频率约1 kHz。表明该精级回转驱动机构的性能指标满足第4代光电稳描技术的发展需求。
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表 1 精级回转驱动机构设计目标
Table 1 Design goal of precision rotary drive mechanism
工作行程
/μrad稳定精度
/μrad分辨率
/μrad固有频率
/Hz负载能力
/Nm≥400 ≤5 ≤0.5 ≥400 ≥50 
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表 2 优化模型自变量
Table 2 Independent variables of optimize model
自变量 初值 范围 最优解 L/mm 20 10~30 12 b/mm 15 10~20 15 t/mm 2 1~3 2 r/mm 40 30~50 35
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表 3 柔性支承固有频率
Table 3 Resonance frequency of flexible support
理论计算/Hz 有限元仿真/Hz 相对误差/% 2 400.6 2 515.5 4.97
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表 4 柔性支承回转刚度
Table 4 Rotaion stiffness of flexible support
参数 理论推导 有限元仿真 试验测试 刚度值/(Nm/μrad) 0.067 0.071 0.066 相对误差/% 5.97 1.49
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表 5 工作行程对比
μrad Table 5 Contrast of travel range
μrad 理论推导 机电联合仿真 试验测试 工作行程 509.7 509.2 509.1
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