Optical design of telephoto zoom lens
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摘要: 变焦距光学系统在校正像差的同时还必须满足像面稳定的要求，补偿或消除由于光学系统中各组元的运动所造成的像相对接收器的偏移。利用动态光学稳像原理，推导变焦距光学系统的稳像方程，建立变焦距光学系统的数学模型，设计光学系统的凸轮曲线。给出了变焦距物镜的动态分析过程，利用光学设计软件CODE V最终得到了一个变倍倍率为8.15×，焦距范围为27 mm~220 mm的变焦距物镜，光学系统F#数为固定值4.2，视场为4.12°~33.56°。给出了凸轮曲线的计算方法及CODE V成像质量分析结果和MTF等。Abstract: Zoom optics system must also meet requirements of image stabilization while correcting aberration, compensating or eliminating offset from receiver due to movement of components in optical system. Based on principle of dynamic optical image stabilization, stabilization equation of zoom optical system is deduced, mathematical model of zoom optical system is established, and cam curve of optical system is designed. Dynamic analysis process of zoom lens is given. Optical design software CODE V is used to finally obtain zoom objective with zoom magnification of 8.15× and focal length range of 27 mm to 220 mm, fixed F# number 4.2 and radial fields 4.12°~33.56°. Calculation method of cam curve, CODE V image quality analysis and MTF are given.
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Keywords:
- dynamic optical system /
- image stabilization /
- cam curve /
- zoom lenses
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引言
近年来结构紧凑、系统小巧的变焦距物镜的应用越来越广泛。由固定组、变倍组、补偿组等组成的传统形式的变焦距物镜，通过机械补偿法实现光学系统的变焦，这种形式的变焦系统很难实现系统的小型化，同时很难做到较大的变倍率，已经越来越难以满足应用的需求。
本文主要讨论多动型变焦距光学系统，在传统变焦距物镜的基础上，减少光学系统中的固定组，特点在于变焦系统的每个组元都必须是运动的，以满足光学系统变焦距的要求。多组全动型变焦系统无疑是变焦系统中的亮点，同时也是变焦距系统设计中的难点。本文从多组全动型变焦距系统基础形式出发，讨论变焦距物镜光学系统，重点讨论变焦距系统的稳像方程及凸轮曲线的设计方法。
本文利用动态光学理论[1-3], 推导了变焦过程中的像移补偿公式, 由像移补偿公式可准确计算出变焦过程中各组元的运动曲线, 从而设计组元位移的凸轮结构, 代替一般靠光路计算, 逐点描绘设计凸轮曲线的方法[4]，其特点是能够使得像面完全稳定。
本文设计了多动型变焦距物镜，运动组元的凸轮曲线。本文所讨论的变焦距光学系统的焦距变化为27 mm~220 mm，变焦倍率为8.15×，结构紧凑、简单[5-6]。
1 变焦距光学系统稳像分析
光学系统中的各透镜组发生相对运动时，可以归到动态光学的研究范畴中。变焦光学系统在校正像差的同时还必须要满足像面稳定，变焦系统能够补偿或消除由元件运动所导致的像相对接收器的偏移等要求，使得光学系统成像在一定的范围内大致不变[8-10]。
变焦距光学系统中各个光学元件之间的间隔不是固定不变的，各组元之间存在着相对运动。通过光学元件之间的相对运动改变透镜组元之间的空气间隔，实现光学系统焦距的连续变化，从而满足光学系统调焦的目的[7]。
由高斯光学的物像共轭关系及动态光学的相关理论，推导满足变焦距光学系统成像要求的稳像方程[11-13]。设光学系统初始位置的静态作用矩阵为R，各组元移动后的动态作用矩阵为R m，则变焦距光学系统的稳像方程可以表示为
$$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{R}}_{3m}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_3}{\mathit{\boldsymbol{R}}_{2m}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_2}\left( {\mathit{\boldsymbol{E}} - {\mathit{\boldsymbol{R}}_{1m}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_1}} \right){\mathit{\boldsymbol{q}}_1}{\mathit{\boldsymbol{R}}_{3m}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_3}\left( \mathit{\boldsymbol{E}} \right. - \\ \;\;\;\;\;\;\left. {{\mathit{\boldsymbol{R}}_{2m}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_2}} \right){\mathit{\boldsymbol{q}}_2} + \left( {\mathit{\boldsymbol{E}} - {\mathit{\boldsymbol{R}}_{1m}}{\mathit{\boldsymbol{R}}_1}} \right){\mathit{\boldsymbol{q}}_3} \end{array} $$ (1) 式中：R1m, R2m, R3m为光学系统动态作用矩阵；R1，R2，R3为光学系统静态作用矩阵；q1, q2, q3为两组元的运动矢量；E为单位矩阵。
当光学系统中各组元只存在沿光轴方向的移动，而没有转动时，对上述矩阵形式的稳像方程进行简化，可以用相对应的轴向放大率β代替光学系统的作用矩阵，得到由轴向放大率表示的变焦系统的稳像方程形式：
$$ \begin{array}{l} {\beta _{3m}}{\beta _3}{\beta _{2m}}{\beta _2}\left( {1 - {\beta _{1m}}{\beta _1}} \right){q_1} + {\beta _{3m}}{\beta _3}\left( {1 - {\beta _{2m}}{\beta _2}} \right){q_2} + \\ \;\;\;\;\;\;\left( {1 - {\beta _{3m}}{\beta _3}} \right){q_3} = 0 \end{array} $$ (2) 式中：β1m, β2m, β3m为变焦距运动后垂轴放大率；β1, β2, β3为初始位置垂轴放大率；q1,q2,q3为两组元的运动矢量。
$$ \begin{array}{l} {\beta _{1m}} = \frac{{{\beta _1}{f_1}^\prime }}{{{{f'}_1} - {\beta _1}{q_1}}}\\ {\beta _{2m}} = \frac{{{\beta _2}{{f'}_1}}}{{{{f'}_2} + \left( {1 - {\beta _1}{\beta _{1m}}} \right){\beta _2}{\mathit{\boldsymbol{q}}_2} - {\beta _2}{\mathit{\boldsymbol{q}}_2}}}\\ {\beta _{3m}} = \frac{{{\beta _2}{{f'}_1}}}{{{{f'}_3} + \left( {1 - {\beta _2}{\beta _{2m}}} \right){\beta _3}{\mathit{\boldsymbol{q}}_3} - {\beta _3}{\mathit{\boldsymbol{q}}_3}}} \end{array} $$ (3) 式中：f′1, f′2, f′3为各组元的焦距；q1, q2, q3为各组元的运动矢量。
由于第二组的运动与第一组和第三组均相关，联立方程(2)式和(3)式得到q1, q2, q3的微分关系，如下式：
$$ \begin{array}{l} \frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{q}}_1}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{q}}_2}}} = \frac{1}{{{\beta _{2m}}{\beta _2}\left( {1 - {\beta _{1m}}{\beta _1}} \right)}}\left( {1 - {\beta _{2m}}{\beta _2}} \right)\\ \frac{{\partial {\mathit{\boldsymbol{q}}_3}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{q}}_2}}} = \frac{{{\beta _{3m}}{\beta _3}}}{{1 - {\beta _{3m}}{\beta _3}}}\left( {1 - {\beta _{2m}}{\beta _2}} \right) \end{array} $$ (4) 当各组元的移动量取微分形式时，即q1=dq1; q2=dq2; q3=dq3，近似地有β1=β1m; β2=β2m; β3=β3m，方程(4)取极值时，可以得到1-β2β2m=0;β2=±1。以第二组的移动位移q2作为中间量，对变焦距运动过程中各组位移极值问题讨论分析，计算出变焦移动过程中各组元的位移q1, q2, q3得到各组的凸轮曲线。
运用动态光学理论结合高斯光学成像公式，推导变焦距光学系统的像移补偿公式，从而计算得到像移补偿的曲线，实现变焦过程中的像移补偿，保持变焦光学系统像面的相对稳定。
本文讨论的多动型变焦距物镜的部分参数如表 1所示。
表 1 光学系统的结构参数Table 1. 1 Structural parameters of optical system像面尺寸 F# 视场角2ω/(°) 广角端 长焦端 2.54 cm(1英寸) 4.2 33.56 4.12 多动型变焦距物镜在短焦、长焦时，系统的焦距及长度如表 2所示。
表 2 变焦距物镜焦距范围及系统长度Table 2. ocal length range and system length of zoom lens变倍率 焦距/mm 系统长度/mm 短焦焦距 长焦焦距 /mm 8.15 27 220 157.25 利用上述动态光学稳像方程设计了多动型变焦距物镜，变焦距光学系统结构如图 1所示。
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图 1 光学系统短焦、中焦、长焦结构图Figure 1. Optical layout of zoom lens in wide, normal and tele modes结合光学系统的结构和部分参数可以得出以下结论
1) 光学系统的长度为157.25 mm，整体结构更为紧凑，可实现变焦距物镜的小型化设计；
2) 焦距变化范围为27 mm~220 mm，变倍比为8.15X，得到较大的变焦范围；
3) 多动型变焦距物镜的动态光学设计方法有利于优化凸轮运动曲线。
2 多动型变焦距物镜的像质评价
调制传递函数(MTF)与光学系统的像差和衍射效果均相关，在评价光学系统成像质量上有直观可靠的优点，能够全面地反映光学系统的成像质量。
利用光学设计软件CODE V得到的变焦距物镜在短焦、中焦、长焦时的MTF曲线如图 2所示。
从MTF曲线可以看出，在空间分辨率为90 lp/mm时，变焦距光学系统0.7视场时，在全焦距变化范围内，MTF>0.6，全视场范围内，短焦距MTF>0.3，中焦距MTF>0.6，长焦距MTF>0.3。本文设计的变焦距物镜中长焦时MTF曲线平直，边缘与中间一致性好，接近衍射极限，均有较好的成像质量。
3 结论
本文利用动态光学理论讨论了多动型变焦距光学系统，推导变焦光学系统的稳像方程，计算像移曲线，实现变焦距的像移补偿过程，保持变焦距光学系统像面的相对稳定。讨论了多动型变焦距物镜变焦运动过程中组元的凸轮曲线求解，为多组全动型变焦光学系统设计奠定基础并提供借鉴。多动型变焦距光学系统中各组元移动曲线变化平直，使得凸轮曲线的设计更为简洁，有利于变焦操作，同时有助于实现大变倍率变焦距光学系统的设计，实现光学系统的小型化。
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图 1 光学系统短焦、中焦、长焦结构图
Figure 1. Optical layout of zoom lens in wide, normal and tele modes
表 1 光学系统的结构参数
Table 1 1 Structural parameters of optical system
像面尺寸 F# 视场角2ω/(°) 广角端 长焦端 2.54 cm(1英寸) 4.2 33.56 4.12 
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表 2 变焦距物镜焦距范围及系统长度
Table 2 ocal length range and system length of zoom lens
变倍率 焦距/mm 系统长度/mm 短焦焦距 长焦焦距 /mm 8.15 27 220 157.25
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